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Göpel

Satz des Pythagoras

Bei einem bestimmten Puzzle-Beweis des pythagoreischen Satzes werden fünf Polygone ohne Drehung und ohne Klappung verschoben. Wie sieht das aus?

Die Animation zeigt den Beweis nacheinander für unterschiedlich aussehende Dreiecke, Jedes Einzelbild aus dem Video ist also eine Beweisskizze:

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Dieser Zerlegungsbeweis von Gustav Adolph Göpel (1812–1847) kommt mit fünf Polygonen aus, die weder gedreht noch geklappt werden müssen. Er zeigt allerdings nicht den Kathetensatz. Eines der Polygone ist deckungsgleich zu dem von den Quadraten umgebenen rechtwinkligen Dreieck.

Nachtrag 14. 11. 2018: Roland Schröder hat ein Verfahren gefunden, mit dem man unendlich viele verschiedene Zerlegungsbeweise konstruieren kann. Man lege zunächst ein Pflaster aus quadratischen Fliesen der Kantenlängen a und b, und zwar eine regelmäßige Form eines römischen Verbandes. Dort kann man leicht die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b einzeichnen. Man ergänze diese Hypotenuse zu einem vollständigen Quadrat:

Dieses Quadrat darf man nun nach Belieben auf dem Pflaster parallelverschieben. Wenn es so liegt, dass es die kleinere Fliese ganz enthält (rechts oben, rechts unten) oder eine seiner Ecken auch Ecke der kleineren Fliese ist (unten links), dann besteht es aus 5 Teilen, mit denen man auch die beiden Fliesen auslegen kann.

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  • Quellen
Anschauliche Geometrie (Ehrenwirth). Nach Lietzmann geht der Beweis auf An-Nairizi (um 900) zurück und ist von Nielsen in die gezeigte Form gebracht worden.

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