Die Bänder teilen die Kugeloberfläche in acht Kugeldreiecke und sechs Kugelquadrate:

Die Bezeichnung "Kugelquadrat" darf nicht zu dem Irrglauben verleiten, dieses (immerhin gleichseitige und gleichwinklige) Viereck habe rechte Winkel. Das wäre auf der Kugeloberfläche (wo die Winkelsumme im Dreieck stets größer ist als 180^o) zu viel verlangt.

An den Animationen erkennt man, dass die Bänder die Projektion der Kanten eines Kuboktaeders vom Kugelmittelpunkt auf die Kugeloberfläche bilden:

Das Kuboktaeder kann als gemeinsamer Stumpf von Würfel und regulärem Oktaeder aufgefasst werden. Dabei schneidet man das Polyeder jeweils bis zu den Mittelpunkten der Kanten ab, die dann die Ecken des Kuboktaeders werden. Ein besonderes Kennzeichen des Kuboktaeders ist, dass es aus regelmäßigen Flächen besteht und ausschließlich deckungsgleiche Ecken (mit der Flächenfolge Dreeieck-Viereck-Dreieck-Viereck: 3-4-3-4) besitzt. Alle Kanten des Kuboktaeders sind gleichwertig: Sie liegen allesamt zwischen einem Dreieck und einem Viereck. Diese Eigenschaft teilt es unter den archimedischen Körpern nur noch mit dem Ikosidodekaeder.

Nun probieren wir dasselbe mit 6 Gummibändern, und diesmal sollen sie sich gegenseitig in zehn gleiche Bogenstücke teilen.

Das Ergebnis zeigt sich in beiden Animationen:

Hier haben wir ein von innen auf die Kugeloberfläche projiziertes Ikosidodekaeder.

Wie bereits erwähnt, ist das Ikosidodekaeder der zweite archimedische Körper, dessen Kanten alle gleichwertig sind, sie liegen zwischen Dreiecken und Fünfecken. Wegen dieser Kantenkongruenz werden Kuboktaeder und Ikosidodekaeder innerhalb der archimedischen (halbregulären) Polyeder auch als quasiregulär bezeichnet. Sie haben außerdem gemeinsam, dass sich ihre Kanten zu regelmäßigen Polygonen zusammenfassen lassen, die sämtlich durch den Mittelpunkt des Körpers gehen: beim Kuboktaeder zu vier Sechsecken, im Falle des Ikosidodekaeders zu sechs Zehnecken.

Der Vollständigkeit halber wollen wir aber noch eine besonders einfache Teilung der Kugeloberfläche mit sich kreuzenden Großkreisen betrachten, bei der sich diese gegenseitig in Viertelkreise zerlegen. Wie sieht denn das aus?

Hier haben wir ein von innen auf die Kugeloberfläche projiziertes Oktaeder, also jetzt kein quasireguläres, sondern ein reguläres Polyeder. Dementsprechend sind die Teile der Kugel auch allesamt nur von einer Sorte deckungsgleicher Kugelpolygone: dreifach-rechtwinklige Kugeldreiecke.