(a) Dass sich die Mittellote eines Dreiecks in einem Punkt treffen, ist dagegen klar, wenn man weiß, dass es durch 3 Punkte genau einen Kreis gibt. Suchen Sie nun für den Beweis nach zwei geeigneten Dreiecken.

(b) Wenden Sie die Winkelfunktionen sin und cos und den (umgekehrten) Satz von Ceva an.

1. Beweis

Bauen Sie 4 einander deckungsgleiche Dreiecke zu einem großen zusammen. Die Mittellote des großen sind dann die Höhen des kleinen.

Übrigens gehen beide Dreiecke durch Streckung um den Faktor –2 (oder zurück –0,5) bezüglich des gemeinsamen Schwerpunktes auseinander hervor.

Erstaunlicherweise kommt der Satz über den Höhenschnittpunkt bei Euklid nicht vor.

2. Beweis mit Satz von Ceva

\(a\) wird im Verhältnis \(c \cos\beta : b \cos\gamma\) geteilt,

\(b\) wird im Verhältnis \(a \cos\gamma : c \cos\alpha\) geteilt,

\(c\) wird im Verhältnis \(b \cos\alpha : a \cos\beta\) geteilt.

Multipliziert man die drei Verhältnisse, so kürzt sich alles weg, und nach der Umkehrung des Satzes von Ceva haben die Höhen einen gemeinsamen Schnittpunkt.