Die Antwort hängt davon ab, was man mit diesen Worten meinen will und was nicht.

Zunächst einmal ist ein Drachenviereck ein Viereck, das bezüglich einer seiner Diagonalen symmetrisch ist. (Die geläufigere Definition "Viereck mit zwei Paaren benachbarter gleich langer Seiten" läuft auf dasselbe hinaus.) Ob es konvex sein muss, also auch alle seine Diagonalen enthalten muss, kann man verlangen, muss man aber nicht.

Jeder Kreis, der alle Seiten eines Polygons berührt, ist dessen Inkreis. Bekanntlich hat jedes Dreieck einen Inkreis, aber auch jede Raute und (daher auch) jedes Quadrat, und (zu unserer Frage:) jedes konvexe Drachenviereck.

Das ist leicht einzusehen: Der Mittelpunkt eines Inkreises muss auf allen inneren Winkelhalbierenden liegen, und beim Drachenviereck fallen schon einmal zwei davon mit der Symmetrieachse zusammen, und die anderen beiden sind zu ihr symmetrisch, schneiden sich also auf ihr.

Beim Dreieck werden außer dem Inkreis auch noch die drei Ankreise betrachtet, die eine Seiten und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berühren. In ihren Mittelpunkten treffen sich jeweils eine innere und zwei äußere Winkelhalbierende.

Das konvexe Drachenviereck hat außer seinem Inkreis (nur!) noch einen Ankreis, der die Verlängerungen aller vier Seiten berührt.

Und nun zum "unechten Drachen", dem nicht-konvexen Viereck mit einer Diagonale als Symmetrieachse: Dieses Viereck hat offensichtlich einen Kreis im Inneren, der zwei Seiten und zwei Seitenverlängerungen berührt – und den ich deshalb ohne Hemmungen als Inkreis bezeichnen würde –, und einen Ankreis, der die anderen beiden Seiten und die Verlängerungen der ersteren beiden berührt. Als fauler Mensch (Denken zählt nicht als Arbeit!) habe ich das Bild nur einmal gezeichnet und zweimal verschieden eingefärbt: