Inversion am Kreis nur mit Zirkel
Zeichnen Sie bitte nur mit einem Zirkel (also ohne Lineal, vom Geodreieck gar nicht erst zu reden) zu einem gegebenen Kreis (Radius \(r_0\)) mit markiertem Mittelpunkt \(M\) zu einem Punkt \(P\), der vom Mittelpunkt einen Abstand \(\overline{PM} = r > r_0/2\) hat, den dazu inversen Punkt \(P'\) mit \(\overline{MP'} = r_0^2/r\), der von \(M\) aus auf derselben Halbgeraden liegt wie \(P\).
Verwenden Sie in Gedanken zwei zueinander ähnliche gleichschenklige Dreiecke, deren Seiten Sie in den Zirkel nehmen.
Die gegebenen Stücke sind schwarz gezeichnet, die beiden getönten Dreiecke sind gleichschenklig und einander ähnlich, denn sie haben den linken Winkel gemeinsam. Aus ihnen folgt das verlangte Verhältnis der Radien.
Der Punkt \(P\) darf auch außerhalb des Kreises liegen:
Der Verzicht auf das Lineal bedeutet gar keinen Verlust an Eleganz oder Bequemlichkeit, wenn der zu invertierende Punkt mehr als den halben Radius vom Mittelpunkt entfernt ist. Im anderen Fall bringt das Lineal eine wesentliche Erleichterung, denn sonst müsste man den Abstand erst hinreichend vielfach (mit Sechseckkonstruktionen) vergrößern und dann den des invertierten Zwischenpunktes nochmals um denselben Faktor.
Schreiben Sie uns!
Beitrag schreiben