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Kantenmitten-Polyeder

Die fünf platonischen Körper

Was für Polyeder bekommt man, wenn man die Kantenmitten der regulären ("platonischen") Polyeder als Ecken nimmt? Welche Besonderheiten haben sie?

Es ist interessant, einige Aspekte allgemein vorweg zu klären, zum Beispiel: Wie viele Kanten treffen sich an jeder Ecke? Wovon hängen die Arten der Polygone ab? Welche Rolle spielt die Dualität?

Wir nennen die regulären Ausgangs-Polyeder "alt" und die aus deren Kantenmitten gebildeten Polyeder "neu". Mit Bezeichnungen wie "Oktaeder" und so weiter ist hier stets das reguläre Polyeder gemeint.

Im alten Polyeder liegen an jeder Kante zwei gleiche Polygone. In beiden Vielecken wird die alte Kantenmitte mit den beiden Mitten der angrenzenden alten Kanten durch neue Kanten verbunden: es entstehen also an jeder neuen Ecke vier neue Kanten. Aus jedem alten Polygon wird ein neues – aber kleineres – Vieleck der gleichen Eckenzahl; andererseits entsteht um jede alte Ecke herum ein neues Polygon mit so vielen neuen Ecken, wie sich alte Kanten in der alten Ecke trafen.

Daraus folgt, dass zwei zueinander duale Polyeder ein gemeinsames Kantenmitten-Polyeder haben. Dieses ist nur dann regulär, wenn die beiden Sorten neuer Seitenflächen gleich viele Kanten haben; also muss das alte an jeder Ecke so viele Kanten haben wie jede seiner Seitenflächen um sich herum. Das letztere trifft nur auf das Tetraeder zu. Sein Kantenmitten-Polyeder ist tatsächlich das Oktaeder.

In einem regulären Polyeder liegen alle Kanten zwischen zwei kongruenten Flächen und zwischen zwei kongruenten Ecken (insbesondere treffen sich an jeder Ecke gleich viele Kanten). Alle neuen Ecken sind also gleichwertig: Das neue Polyeder ist – da seine Flächen auch regelmäßig sind – eckenkongruent, also archimedisch (wenn nicht sogar regulär wie das Oktaeder).

Jede neue Kante liegt zwischen einer Fläche, die eine alte Ecke umgibt, und einer Teilfläche einer alten Fläche. Damit haben die Kantenmitten-Polyeder der regulären Polyeder eine Eigenschaft, die sonst nur diese selbst haben: Sie sind kantenkongruent. Das bedeutet, dass alle Kanten zwischen denselben (maximal) zwei Sorten von Polygonen liegen, zum Beispiel immer zwischen einem Dreieck und einem Viereck. Aus diesem Grund werden die hier behandelten Polyeder "quasiregulär" genannt (bis auf das Oktaeder, das sogar regulär ist).

Da der Würfel und das Oktaeder zueinander dual sind, ebenso das Ikosaeder und das Dodekaeder; gibt es insgesamt drei Kantenmitten-Polyeder: das vom Tetraeder abstammende reguläre Oktaeder, das "Kuboktaeder" (kurz: KO) und das "Ikosidodekaeder" (kurz: ID). Sie haben so viele (neue) Ecken, wie ihre "Eltern" alte Kanten haben, also in den drei Fällen (Oktaeder) 6, (KO) 12 und (ID) 30.

Das Tetraeder ist dual zu sich selbst (rot und blau), und sein Kantenmitten-Polyeder ist das Oktaeder (weiß):

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Das Oktaeder (blau) ist dual zum Würfel (rot), und ihr gemeinsames Kantenmitten-Polyeder ist das KO (weiß):

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Das Ikosaeder (blau) ist dual zum Dodekaeder (rot), und ihr Kantenmitten-Polyeder ist das ID (weiß):

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Die Anzahl der neuen Flächen entspricht der Summe der Anzahlen der alten Ecken und Flächen. Für das Oktaeder sind das 4 + 4 = 8, für das KO 8 + 6 = 6 + 8 = 14 und für das ID 12 + 20 = 20 + 12 = 32 Flächen.

Die Anzahl der neuen Kanten kann aus der Euler-Charakteristik (für Polyeder: Ecken – Kanten + Flächen) berechnet werden. Da die neuen Polyeder kein Loch besitzen und (topologisch gesehen) wie eine Kugel geformt sind, haben sie die Euler-Charakteristik \(\chi\) einer Kugel: \(\chi=2\). Daraus ergibt sich die Anzahl der Kanten: Das Oktaeder hat 12, KO 24 und das ID hat 60.

Zu diesem Schluss kommt man aber auch durch eine andere Überlegung: Die Anzahl der neuen Kanten ist doppelt so groß wie die der alten, weil von jedem Mittelpunkt einer alten Kante vier neue ausgehen.

Man kann alle eckenkongruenten Polyeder (also die archimedischen und auch die platonischen) durch die – an allen Ecken gleiche – Abfolge der anliegenden Flächen kennzeichnen. Beim Würfelstumpf wäre das beispielsweise 3-8-8 oder beim Oktaeder 3-3-3-3. Unsere Kantenmitten-Polyeder haben natürlich stets vier solche Ziffern in zwei gleichen Gruppen, nämlich 3-4-3-4 für das KO und 3-5-3-5 für das ID.

Man kann sich die Kantenmitten-Polyeder auch als Ergebnis eines besonders weit gehenden Abstumpfungsprozesses vortellen: Das Oktaeder ist dann als besonderes Tetraederstumpf, das KO als gemeinsamer Stumpf von Würfel und Oktaeder und das ID als Stumpf von Ikosaeder und Dodekaeder anzusehen. Normalerweise werden aber mit "Würfelstumpf", "Tetraederstumpf", und so weiter die Polyeder gemeint, bei denen Teile der alten Kanten übrig bleiben.

Zum Schluss sei noch auf eine Besonderheit der drei Kantenmittenpolyeder der regulären Polyeder hingewiesen, die die anderen regulären und archimedischen Polyeder nicht haben: Ihre Kanten bilden regelmäßige Polygone, die durch den Mittelpunkt gehen. Im Oktaeder sind das drei Quadrate, im Kuboktaeder vier Sechsecke und im Ikosidodekaeder sechs Zehnecke (das wird in einer anderen Aufgabe thematisiert).

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