Karten umdrehen
Ziemlich viele (für Mathematiker: abzählbar unendlich viele) Karten liegen auf nummerierten Plätzen auf dem Tisch, zunächst alle mit ihren Rückseiten nach oben. Es werden nun alle Karten umgedreht, dann alle auf Plätzen, deren Nummern durch 2 teilbar sind, dann die mit durch 3 teilbaren Nummern und so weiter, für alle natürlichen Teiler. Welche liegen am Schluss mit den Vorderseiten nach oben?
Welche Zahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern?
Es sind genau die Quadratzahlen, die eine ungerade Anzahl von Teilern haben (die Eins und die Zahl selbst mitgezählt).
Das ist auf den ersten Blick gar nicht so klar. Eine Primzahl \(a\) hat die Teiler 1 und \(a\), also zwei. Ein Produkt aus zwei Primzahlen \(a\) und \(b\) hat 1, \(a, b\) und \(ab\), also vier Teiler. Ein Quadrat \(a^2\) einer Primzahl \(a\) hat die Teiler 1, \(a\) und \(a^2\), also drei.
Allgemein hat eine Zahl mit der Primfaktorzerlegung \(a^k \cdot b^\ell \cdot c^m \dots\) mit den Primzahlen \(a, b, c \dots\) und ihren Exponenten \(k, \ell, m \dots\) die Anzahl \((k + 1)\cdot(\ell + 1)\cdot(m + 1) \dots\) von Teilern. Ein Produkt natürlicher Zahlen kann nur ungerade sein, wenn alle Faktoren ungerade sind, also alle \(k, \ell, m \dots\) gerade. Das trifft aber genau für die Quadratzahlen zu. (Dazu zählen auch Zahlen mit dem Faktor (zum Beispiel) \(a^4\), denn auch \(a^4=(a^2)^2 \) ist eine Quadratzahl.)
In diesem Bild zeigt jede Zeile (zur besseren Übersicht nur) 50 Karten nach jeweils einer Reihe von Umklappungen:
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