Nicht deckungsgleich
Zwei gewisse Dreiecke sind zueinander ähnlich, das heißt, in beiden gibt es die gleichen drei (untereinander verschiedenen) Winkel, sie sind nicht deckungsgleich (auch nicht nach Spiegelung), und trotzdem gibt es zwei ganzzahlige Seitenlängen, die in beiden vorkommen. Geht das?
Es geht. Zum Beispiel hat das eine Dreieck die Zahlenwerte 8, 12 und 18 für die Seitenlängen, das andere 12, 18 und 27.
Welche Bedingung gibt es für das Verhältnis der Seitenlängen (das in der genannten Lösung 3:2 ist) allgemein?
Allgemein müssen die Seitenlängen Glieder von geometrischen Folgen \(a, a \cdot k, a \cdot k^2, a \cdot k^3 \dots\) sein. Dabei muss der Quotient \(k\) wegen der Dreiecksungleichung (die längste Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen) zwischen \(1/g\) und \(g\) liegen, wobei \(g\) der goldene Schnitt \((1 + \sqrt5)/2\) ist. Im obigen Beispiel ist \(k=3/2\).
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