Treitz-Rätsel / Mathematik / 464: Quintomino-Dodekaeder-Puzzle

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Treitz-Rätsel
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Schneiden Sie ein reguläres Fünfeck aus Karton aus, teilen Sie es in 5 gleiche Sektoren und färben diese mit lauter verschiedenen Farben (rot, gelb, grün, blau und violett). Die Rückseite jedes Sektors soll dieselbe Farbe bekommen wie die Vorderseite. Dafür gibt es 12 verschiedene Möglichkeiten, die nicht durch Drehung und Umklappung ineinander überführt werden können. John Horton Conway bezeichnete diese fünfeckigen "Spielsteine" als Quintominos (sozusagen Fünfer-Domino-Steine) und fragte, ob man sie so auf die Flächen eines regelmäßigen Dodekaeders (mit gleicher Kantenlänge) heften kann, dass an jeder Kante zwei Sektoren gleicher Farbe zusammentreffen.

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Tipp

Es ist nicht sehr einfach, doppelseitig haftende Puzzle-Steine anzufertigen, die man auf ein Dodekaeder setzen kann. Daher ist es sinnvoll, die Puzzle-Steine aus normalem Karton auszuschneiden und beidseitig sektorweise zu färben oder mit Farbpapier zu bekleben. Als ebenes Spielfeld kann man dann das abgewickelte und aufgeschnittene, aber unverzerrte "Netz" des Dodekaeders nehmen. Welche Kanten dabei als identisch anzusehen sind, wird durch die Kreisbögen zum Teil angedeutet:

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Eine andere Möglichkeit ist, mit Bleistift (und Radiergummi!) Zahlen an die Kanten des Petrie-Netzes des Dodekaeders zu schreiben.

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Lösung

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Diese 3 wesentlich verschiedenen (d. h. nicht durch Symmetrie-Operationen oder zyklische Vertauschungen auseinander hervorgehenden) Lösungen gab Conway im Oktober 1959 in Eureka (Seite 23). Martin Gardner stellt die Aufgabe im Novemberheft 1970 des Scientific American und bringt die Lösung im Dezember.

Wenn das Puzzle einmal gelöst ist, kann man natürlich bequem ein Dodekaeder bunt bekleben oder anmalen. Oder Sie drucken diese PDF-Datei farbig auf steifes Papier aus und basteln daraus ein Dodekaeder, das die erste der drei angegebenen Lösungen realisiert.

Am fertigen Dodekaeder fällt auf, dass die roten Flächen, genauer: die Mittelpunkte ihrer gemeinsamen Kanten, die Ecken eines regelmäßigen Oktaeders bilden. Um dies zu verdeutlichen, sind die roten Flächen durch (rote) Striche miteinander verbunden. Dasselbe gilt auch für die grünen und die gelben Flächen, nicht aber für die blauen und die violetten!

Kann man diesen Mangel an Symmetrie reparieren? Ja. Es genügt, auf 6 der 12 Fünfecke die Farben blau und violett zu vertauschen. Aber dann ist die Anordnung nicht mehr Lösung des ursprünglichen Problems. Das leuchtet ein: Totale Symmetrie erfordert, dass gegenüberliegende (parallele) Fünfecke des Dodekaeders Spiegelbilder voneinander sind. Da in der Aufgabe Bild und Spiegelbild nicht voneinander unterschieden werden, sind von den zwölf möglichen Anordnungen sechs doppelt vertreten und die sechs anderen gar nicht. Pech …

Die Bezeichnung "Quintomino" bedeutet wörtlich dasselbe wie Golombs "Pentomino", beides sind verschiedene Abkömmlinge von Dominosteinen mit 5 "Teilen" statt 2: hier die Anlegestellen (die beim Domino vorzugsweise 2 sind), dort die Zahl der viereckigen Flächenteile. Manchmal werden die Bezeichnungen auch anders zugeordnet.