Treitz-Rätsel / Mathematik / 464: Quintomino-Dodekaeder-Puzzle

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Treitz-Rätsel
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Schneiden Sie ein reguläres Fünfeck aus Karton aus, teilen Sie es in 5 gleiche Sektoren und färben diese mit lauter verschiedenen Farben (rot, gelb, grün, blau und violett). Die Rückseite jedes Sektors soll dieselbe Farbe bekommen wie die Vorderseite. Dafür gibt es 12 verschiedene Möglichkeiten, die nicht durch Drehung und Umklappung ineinander überführt werden können. John Horton Conway bezeichnete diese fünfeckigen "Spielsteine" als Quintominos (sozusagen Fünfer-Domino-Steine) und fragte, ob man sie so auf die Flächen eines regelmäßigen Dodekaeders (mit gleicher Kantenlänge) heften kann, dass an jeder Kante zwei Sektoren gleicher Farbe zusammentreffen.

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Tipp

Es ist nicht sehr einfach, doppelseitig haftende Puzzle-Steine anzufertigen, die man auf ein Dodekaeder setzen kann. Daher ist es sinnvoll, die Puzzle-Steine aus normalem Karton auszuschneiden und beidseitig sektorweise zu färben oder mit Farbpapier zu bekleben. Als ebenes Spielfeld kann man dann das abgewickelte und aufgeschnittene, aber unverzerrte "Netz" des Dodekaeders nehmen. Welche Kanten dabei als identisch anzusehen sind, wird durch die Kreisbögen zum Teil angedeutet:

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Eine andere Möglichkeit ist, mit Bleistift (und Radiergummi!) Zahlen an die Kanten des Petrie-Netzes des Dodekaeders zu schreiben.

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Lösung

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© Norbert Treitz
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Diese 3 wesentlich verschiedenen (d. h. nicht durch Symmetrie-Operationen oder zyklische Vertauschungen auseinander hervorgehenden) Lösungen gab Conway im Oktober 1959 in Eureka (Seite 23). Martin Gardner stellt die Aufgabe im Novemberheft 1970 des Scientific American und bringt die Lösung im Dezember.

Wenn das Puzzle einmal gelöst ist, kann man natürlich bequem ein Dodekaeder bunt bekleben oder anmalen.

Die Bezeichnung "Quintomino" bedeutet wörtlich dasselbe wie Golombs "Pentomino", beides sind verschiedene Abkömmlinge von Dominosteinen mit 5 "Teilen" statt 2: hier die Anlegestellen (die beim Domino vorzugsweise 2 sind), dort die Zahl der viereckigen Flächenteile. Manchmal werden die Bezeichnungen auch anders zugeordnet.