Denken Sie daran, dass 4 der 8 Ecken eines Würfels die Ecken eines regulären Tetraeders bilden. Sie können aber auch erst einmal ein Papiermodell bauen, wie ich es gemacht habe, nachdem ich mir die Aufgabe selbst gestellt hatte. Hinterher war ich der Meinung, ich hätte mir das Ergebnis auch schon vorher überlegen können sollen …

Das aus einem regelmäßigen Tetraeder als Kern entwickelte Rhombenhexaeder ist nichts anderes als ein Würfel, dessen Ecken abwechselnd die Ecken des Tetraeders und die Spitzen der 4 Pyramiden sind.

Die Rauten sind also Quadrate, und an den Spitzen der aufgesetzten Pyramiden treffen sich drei rechtwinklige Dreiecke mit ihren rechten Winkeln, nämlich als Würfelecken.

Zu meiner Entschuldigung dafür, dass ich mir die Lösung erst komplizierter vorgestellt habe, berufe ich mich darauf, dass die Rauten in den analogen Fällen zu den anderen regulären Polyedern (also den anderen platonischen Körpern) keineswegs Quadrate sind.

Gibt es auch unregelmäßige Polyeder aus 6 einander deckungsgleichen Rauten, die keine Quadrate sind? Und falls ja: Unter welcher Bedingung kann sogar aus den gleichen Rauten zwei verschiedene Polyeder bauen?

Stellen Sie sich einen Würfel nur aus Kanten mit Gelenken in den Ecken vor, den Sie an zwei einander gegenüberliegenden Ecken auseinanderziehen oder zusammendrücken. Es entsteht ein Parallelepiped mit gleichen Kantenlängen. Im Grenzfall fällt das Ganze entweder (beim Auseinanderziehen) in die Raumdiagonale zusammen (die dann dreimal so lang ist wie eine Kante) oder (beim Zusammendrücken) in ein regelmäßiges Sechseck .

Beim langgezogenen Körper treffen an jedem Ende drei Rauten mit ihren spitzen Ecken zusammen, an den anderen 6 Ecken dagegen jeweils 2 mit stumpfen Ecken und eine mit einer spitzen Ecke. Beim plattgedrückten Körper ist es umgekehrt, das heißt an beiden Enden je 3 stumpfe Ecken und sonst je eine stumpfe und zwei spitze.

Ist die Raute spitzer als 60^o, so kann man aus 6 Exemplaren nur ein langgezogenes Parallelepiped bauen, weil die anderen Winkel dann größer als 120^o sind und zu dritt nicht an eine Ecke passen.

Liegen aber alle 4 Winkel zwischen 60 und 120^o, so können jeweils aus den gleichen Rauten zwei verschiedene Epipede gebaut werden, ein flaches und ein schlankes. Der Grenzfall ist natürlich wieder der Würfel:

Im Spezialfall mit 60 und 120^o gibt es entweder das ebene Sechseck als uneigentlichen Grenzfall oder dieses Polyeder:

Die Rauten bestehen dann aus zwei gleichseitigen Dreiecken in jeweils einer gemeinsamen Ebene. Das Parallelepiped kann man dann in zwei reguläre Tetraeder und ein reguläres Oktaeder zerlegen (wobei das letztere zwei Drittel des Volumens hat). Da man den 3-dimensionalen Raum lückenlos mit gleichen Parallelepipeden (jeglicher Sorte) füllen kann, geht es auch mit regulären Oktaedern und regulären Tetraedern im Zahlenverhältnis 1:2, also im Volumenverhältnis 2:1 (siehe "Den Raum mit regulären Polyedern füllen").

Entgegen einem verbreiteten Irrglauben kann man ihn mit regulären Tetraedern allein nicht füllen, auch nicht mit Oktaedern, wohl aber mit Oktaederstümpfen oder mit Rhombendodekaedern.