Treitz-Rätsel / Mathematik / 045: Salomon und die Königin von Saba

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Treitz-Rätsel
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(Ausschnitt)

Einen Heiratsantrag des Königs beantwortet die Königin, indem sie ihm eine Lotterie anbietet.

Salomon soll 10 goldene und 10 silberne Münzen restlos in zwei Töpfe füllen. Dann kommt ein Minister der Königin, greift in einen der beiden Töpfe und nimmt eine Münze heraus. Die Königin verspricht, Salomon zu heiraten, wenn es eine goldene Münze ist. Kann er eine Chance wesentlich über 50 % erreichen?

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Tipp

Es hat niemand gesagt, dass in jeden Topf gleich viele Münzen müssen, es darf nur keine übrigbleiben.

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Lösung

Antwort

Das Bild zeigt zuerst drei typische sub-optimale Lösungsversuche A bis C. Sie haben gemeinsam, dass in jeden Topf 10 Münzen gelegt werden – was nicht verlangt war – und die Chance dadurch genau bei 50 % bleibt.

Dieser Sachverhalt ist eng verwandt mit der alten Scherzfrage: Wenn man aus einem Liter Rotwein einen Löffel entnimmt und in ein Gefäß mit 1 Liter Weißwein gibt, dann aus diesem Gefäß wieder einen (genau so großen) Löffel entnimmt und zurückgießt: Ist dann in dem einen Gefäß genau so viel Weißwein wie in dem anderen Rotwein, oder unterschiedlich viel? Kommt es auf das Umrühren an?

Mit grünen und gelben Erbsen ist es etwas klarer: Mit und ohne Mischen sind die beiden Mengen gleich.

Bild D zeigt die optimale Lösung: eine goldene Münze in einen Topf, alle anderen (die silbernen eingeschlossen) in den anderen. Denn zunächst greift der Minister mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/2 zu jedem der beiden Töpfe, die ja von außen nicht zu unterscheiden sind; im linken ist Salomons Erfolgswahrscheinlichkeit 100 % und im rechten 9/19. Das macht zusammen 1/2 + 9/38 = 28/38 = 14/19, also fast 3/4.

Bei dieser Aufgabe muss ich immer an eine Schülerin denken, die einem Kollegen (A. B.) und mir vor wenigen Jahren in einem Kieler Studentenlokal das Abendessen servierte und mit einigen Äußerungen über ihr zwiespältiges Verhältnis zu gewissen Schulfächern den Verdacht erregte, dass sie hoch begabt sei. (IQ höher als 130 und damit höchstens von 2 % der Bevölkerung übertroffen). Ich hatte die Aufgabe von Salomon kaum fertig formuliert, da sagte sie: "Er tut eine goldene in den einen Topf und alle anderen in die andere." Und als ich verblüfft mehrere Sekunden lang nichts sagte, fragte sie: "Etwa nicht?" Ich fragte sie dann noch, was die Summe der Zahlen von 1 bis 100 sei, und bekam sogleich die Antwort "5050". Als ich nun fragte, ob sie das wie der kleine Gauß gerechnet hätte, kam heraus, dass sie die berühmte Geschichte dazu gar nicht kannte: "Was für ein kleiner Gauß?"