Treitz-Rätsel / Mathematik / 069: Satz von Tabit

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Treitz-Rätsel
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(Ausschnitt)

In diesem Bild sind die beiden dunkelgrünen Dreiecke ähnlich zu einander und zu dem gesamten (hell- und dunkelgrünen) Dreieck. Das blaue Quadrat ist flächengleich zum blauen Rechteck, und entsprechend das rote Quadrat zum roten Rechteck.

Da alle eingezeichneten Flächen in unserem Raster ganzzahlig sind, kann man diese Aussagen leicht nachrechnen.

Gilt auch allgemein, dass die Flächengleichheit der Quadrate und Rechtecke aus der Ähnlichkeit der Teildreiecke zum Dreieck folgt?

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Lösung

Ja. Die kürzere Rechteckseite verhält sich zu der (zugehörigen) Quadratseite wie diese zur längeren Rechteckseite, wie man aus den einander ähnlichen Dreiecken ablesen kann (Gleichheit der beiden kürzeren Seiten nicht ausgeschlossen).

Wenn das Dreieck nicht stumpf-, sondern spitzwinklig ist (d. h. nicht einen stumpfen, sondern drei spitze Winkel hat), überlappen sich die beiden Rechtecke und sind also zusammen größer als das Quadrat "über" der (hier unten gezeichneten) Dreiecksseite.

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, bekommen wir natürlich den pythagoreischen Satz.

Tabit Ibn Qurra lebte von 826 oder 827 bis 901 und wirkte in Bagdad.
P. Baptist: Pythagoras und kein Ende? Stuttgart 1997 (Klett)