Treitz-Rätsel / Mathematik / 513: Stadtmauer

von
Treitz-Rätsel
© iStock / nicolas
(Ausschnitt)

Eine mittelalterliche Stadt will sich stark ausdehnen und plant eine Mauer aus 10 geraden Teilen von je 200 m Länge. Sie liegt an einem geraden Flussufer, von dem ein beliebig großes Stück als elfte Seite des 11-Ecks genommen werden kann (am Ufer benötigt man keine Mauer). Wie sieht das 11-Eck aus, wenn es eine möglichst große Fläche haben soll?

Tipp anzeigen

Tipp

Wie sieht das gleichseitige 20-Eck mit dem größten Flächeninhalt aus?

Lösung anzeigen

Lösung

Unser gesuchtes 11-Eck ist die Hälfte von diesem regelmäßigen 20-Eck (dessen Seiten gleich lang sind und dessen Ecken auf einem Kreis liegen), das Flussufer ist der Durchmesser. Allgemein ist das n-Eck mit n – 1 gleichen Seiten vorgegebener Länge und einer beliebig großen Seite dann am größten, wenn man die Hälfte von einem regelmäßigen 2(n–1)-Eck nimmt.

Wenn Sie auf einen Stadtplan von Köln schauen, finden Sie diese Lösung in guter Näherung wieder: Die "Ringe" (Ubier-Ring bis Theodor-Heuß-Ring) liegen knapp außerhalb der im 19. Jahrhundert bis auf einige Türme, Torburgen und Reststücke abgerissenen mittelalterlichen Mauer.

Die Ubier waren ein Germanenstamm, der frühzeitig die Vorteile der Kooperation mit einer kulturell überlegenen Weltmacht erkannt hat. Ein anderer Stamm, nämlich die Cherusker, war der Meinung, man müsse sich den Römern gewaltsam widersetzen, und ihrem Anführer Arminius (angeblich Hermann) wurde von den Preußen später ein großes Denkmal im Teutoburger Wald gesetzt und dem Architekten dieses Denkmals gleich daneben noch ein kleineres. Vor Groß St. Martin in Köln steht ein noch kleineres, die Schmitz-Säule, und erinnert an die Vorfahren der Familie Schmitz, nämlich römische Legionäre aus der Provinzhauptstadt Colonia und ihre ubischen Freundinnen. Das ist der Unterschied zwischen Köln und Preußen!

Die anderen Teile des Rings sind in chronologischer Folge nach Personen und Herrscherhäusern der deutschen Geschichte benannt.

Allerdings liegen Städte nicht an geraden Uferstücken, sondern praktisch immer an der Außenseite einer Flussbiegung. Außerdem gab es auch am Ufer eine Mauer. Das deutet darauf hin, dass nicht nur die Mauer teuer war, sondern auch noch die Gräben und Wälle, die die Mauern außen umgaben und nun wirklich am Ufer nicht nötig waren. Die wirkliche Optimierungsaufgabe war also im Mittelalter: Man baue für eine Stadt an einem Flussufer eine Befestigung mit großer Fläche und möglichst kurzer Länge der Landgrenze. Die Antwort ist der Halbkreis.

Übrigens ist es natürlich unlogisch, ein einzelnes Stück der Ringstraße als Ring zu bezeichnen und den ganzen Halbkreis dann als "Ringe".