Treitz-Rätsel / Mathematik / 536: Tetraeder aus Quadrat

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Treitz-Rätsel
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Wenn Sie dieses spezielle Tetraeder entlang von drei seiner Kanten aufschneiden und daraufhin alle seine Seitenflächen in eine Ebene flachlegen, ergibt sich ein Quadrat, von dessen Ecken drei zusammen eine Ecke des Tetraeders bildeten. Nennen wir die Seitenlänge des Quadrats \(a\). Welches Volumen hat das Tetraeder?

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Tipp

Zum Herstellen des Tetraeders wird das Quadrat so gefaltet:

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Bei der Berechnung des Volumens kann man sich das Leben wesentlich vereinfachen, wenn man eins der rechtwinkligen Dreiecke als Grundseite des Tetraeders auffasst.

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Lösung

© Norbert Treitz
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Das Volumen des Tetraeders ist 1/3 mal Grundfläche mal Höhe. Dieses spezielle Tetraeder hat eine mit einer Würfelecke kongruente (also dreifach-rechtwinklige) Ecke. Nehmen Sie zweckmäßig eine der dieser Ecke anliegenden Flächen als Grundfläche, zum Beispiel die rote. Deren Flächeninhalt ist \(a^2/4\), die Höhe ist \(a/2\) (eine halbe Quadratseite): das macht für das Tetraedervolumen \(a^3/24\).

Cohen, Aufgabe 13