Treitz-Rätsel / / 564: Tetraeder-Schwamm

von
Sechs Sechsecke
© Christoph Pöppe
(Ausschnitt)

Können Sie etwas bauen, bei dem an jeder Ecke sechs regelmäßige Sechsecke zusammentreffen?

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Tipp

Gehen Sie von der lückenlosen Raumfüllung durch (große) Tetraederstümpfe und (kleine) Tetraeder aus.

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Lösung

© Norbert Treitz
(Ausschnitt)

Wenn man versucht, den Raum mit Tetraederstümpfen vollzustapeln, bleiben zwischen den Dreiecken kleine Tetraeder übrig, und die Sechsecke decken sich paarweise. Wir lassen nun die Dreiecke ganz weg und von jedem Paar von Sechsecken eins. Damit treffen sich in jeder Ecke sechs Sechsecke, aber an jeder Kante nur zwei. Wir können die Seiten der Wände so färben, dass jeder Tetraederstumpf eine einheitliche Innenfarbe, aber jede Wand zu beiden Seiten verschiedene Farben bekommt. Der unendliche dreidimensionale Raum wird durch die Sechsecke in zwei gleich große Abteile aufgeteilt, die ineinander greifen wie Luft und Gummi bei einem Schwamm.

Wenn man in jeden Tetraederstumpf ein (kugelrundes) Atom oder Ion setzt, bekommt man das Diamant-Gitter: Jedes Atom hat 4 Nachbarn, die zu ihm liegen wie die Ecken eines regulären Tetraeders zu dessen Mittelpunkt. Lässt man zwei Atomsorten sich abwechseln, bekommt man das Gitter von Gallium-Arsenid und ähnlichen Halbleiter-Verbindungen.

Als sich 1926 John Flinders Petrie (sein Vater war der bekannte Archäologe) zwei ähnliche Schwamm-Polyeder (mit 6 Quadraten bzw. 3 Sechsecken an jeder Ecke) ausdachte und dies seinem Freund Harold Coxeter sagte, erfand dieser sogleich das Schwamm-Polyeder mit 6 Sechsecken an jeder Ecke.