Widerstand der Polyederkanten
Ein Würfel und ein Oktaeder werden als Kantenmodelle aus 12 gleichen elektrischen Widerständen zusammen gelötet. Welcher Widerstand besteht zwischen je zwei Ecken? Das sind 5 Fälle:
- gegenüberliegende Ecken des Oktaeders;
- benachbarte Ecken des Oktaeders;
- gegenüberliegende Ecken des Würfels;
- übernächste Ecken des Würfels;
- benachbarte Ecken des Würfels.
Beachten Sie, welche Ecken aus Symmetriegründen gleiches Potenzial haben müssen. Fassen Sie Teile der Schaltung zu Ersatzwiderständen zusammen. Zur Kontrolle schreiben Sie an jede Ecke ein Potenzial und prüfen Sie dann, ob die Knotenregel eingehalten wird.
In den folgenden Bildern sind die Polyeder so verzerrt, dass die x-Koordinate jeder Ecke ihrem Potenzial proportional ist. An den Kanten stehen die Stromstärken der sie durchfließenden Ströme (in geeigneten Einheiten).
Gegenüberliegende Ecken im Oktaeder
Der Widerstand ist halb so groß wie der einer einzelnen Kante, denn es fließen 4 Stromstärke-Einheiten bei 2 Spannungseinheiten.
Benachbarte Ecken im Oktaeder
Der Widerstand ist 10/24 mal so groß wie der einer einzelnen Kante, denn es fließen 24 Stromstärke-Einheiten bei 10 Spannungseinheiten.
Gegenüberliegende Ecken im Würfel
Der Widerstand ist 5/6 mal so groß wie der einer einzelnen Kante, denn es fließen 6 Stromstärke-Einheiten bei 5 Spannungseinheiten.
Diese Variante ist die bekannteste, sie findet sich z.B. als Nr. 97 in Freyer/Gaebler/Möckel.
Übernächste Ecken im Würfel
Der Widerstand ist 6/8 mal so groß wie der einer einzelnen Kante, denn es fließen 8 Stromstärke-Einheiten bei 6 Spannungseinheiten.
Benachbarte Ecken im Würfel
Der Widerstand ist 10/14 mal so groß wie der einer einzelnen Kante, denn es fließen 14 Stromstärke-Einheiten bei 10 Spannungseinheiten.
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