Wigner-Seitz-Zelle des Diamantgitters
Im Diamantgitter ist jedes (im Falle des Diamanten selbst: Kohlenstoff-)Atom so an 4 nächste Nachbarn gebunden, wie die Ecken zum Mittelpunkt eines regulären Tetraeders liegen:
Wie sieht das Polyeder aus, dessen Inhalt dem mittleren Atom(-kern) näher ist als jedem anderen, wie sieht also die Wigner-Seitz-Zelle des Diamantgitters aus?
Stellen Sie sich zu den Verbindungslinien zwischen dem Zentralatom und seinen nächsten Nachbarn die "räumlichen Mittelsenkrechten" vor, also die Ebenen, die zu diesen Verbindungslinien in deren Mittelpunkten rechtwinklig stehen. Kann man mit dem Polyeder, das aus diesen Ebenen gebildet ist, allein den Raum restlos füllen? Welches Polyeder bilden die entsprechenden Ebenen für die übernächsten Nachbarn?
Die Ebenen gleichen Abstands zwischen einem Atom und einem seiner 4 nächsten Nachbarn (die "Mittelsenkrechten") bilden ein Tetraeder:
Mit Tetraedern allein kann man aber den Raum nicht restlos füllen. Wir betrachten daher auch noch die 12 übernächsten Nachbarn, die die Ecken eines Kuboktaeders bilden. Dual zu diesem ist das Rhombendodekaeder mit seinen 12 Flächen.
Wären die nächsten Atome nicht da, wäre dieses Polyeder die Wigner-Seitz-Zelle. Die richtige ist aber auf jeden Fall in dem Rhombendodekaeder, aber auch in dem Tetraeder enthalten, also deren Schnittmenge. (Es hätte auch ein Teil dieser Schnittenge sein können, etwa wenn drittnächste Nachbarn eine Rolle spielen würden.) Im nächsten Bild sehen wir die Wigner-Seitz-Zelle des Diamantgitters als Schnitt des Tetraeders und des Rhombendodekaeders (in passenden Größen und Orientierungen!). Dieses Polyeder kann man sich als einen Tetraederstumpf (der aus regelmäßigen Sechsecken und Dreiecken besteht) vorstellen, auf dessen Dreiecke je ein Tetraeder gesetzt ist, dessen Höhe 1/4 seiner Kantenlänge ist.
Mit einem Tetraeder, das nur an drei seiner vier Ecken um 1/3 seiner Kantenlänge abgestumpft ist, kann man den Raum lückenlos füllen (anders gesagt: mit großen Tetraederstümpfen und kleinen Tetraedern in gleicher Stückzahl). Hier ist das kleine Tetraeder sozusagen in vier Teilen auf die vier abgestumpften Ecken verteilt.
Wie diese Zellen aneinander gefügt sind, ist jetzt mit vier ganzen und mehreren angeschnittenen Zellen zu sehen:
So hübsch diese Wigner-Seitz-Zelle aussieht und so wichtig das Diamantgitter für die Halbleiter ist: Sie ist als Polyeder nicht einmal halbregulär.
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