Hemmes mathematische Rätsel: Zehn Brüder
Die Ruinen der Stadt Uruk stehen im südlichen Irak etwa 20 Kilometer östlich des Euphrats. Im Altertum lag die Stadt direkt am Fluss, der heute sein Bett verlagert hat. Uruk ist eine der bedeutendsten Ausgrabungsstätten im Zweistromland und der Fundort der ersten Schrift der Menschheit. Die Stadt ist namengebend für die Uruk-Zeit, die von etwa 3500 bis 2800 v. Chr. dauerte. Bereits im ausgehenden 4. vorchristlichen Jahrtausend war Uruk eines der führenden Zentren der sumerischen Frühzeit. Eine zweite große Blütephase erlebte Uruk in der hellenistischen Zeit in den letzten vorchristlichen Jahrhunderten. Die Mathematik und auch die Unterhaltungsmathematik waren in Uruk schon hoch entwickelt. Aus der altbabylonischen Zeit (1894 bis 1595 v. Chr.) stammt ein Keilschrifttäfelchen mit folgender Aufgabe:
Zehn Brüder besaßen zusammen 12⁄3 Minen Silber. Da erhob sich Bruder über Bruder. Was er sich erhoben hat, weiß ich nicht. Der Anteil des achten Bruders betrug 6 Schekel. Bruder über Bruder, um wie viel hat er sich erhoben?
Gemeint ist, dass jeder Bruder einen festen Betrag weniger erhält als der vorherige. Eine Mine entspricht 60 Schekel.
Jeder der zehn Brüder bekam einen Sockelbetrag von a Schekel. Zusätzlich erhielt der neunte Bruder noch d Schekel, der achte 2d Schekel, der siebte 3d Schekel usw. Diese zusätzlichen Anteile ergeben insgesamt 1d + 2d + … + 9d = 45d Schekel. Die 12⁄3 Minen oder 100 Schekel verteilen sich also auf 10 Sockelbeträge und 45 zusätzliche Anteile, was zur Gleichung 10a + 45d = 100 führt.
Der achte Bruder erhielt a + 2d = 6 Schekel. Stellt man diese Gleichung nach a um und setzt sie in die erste ein, erhält man 10(6 − 2d) + 45d = 100. Daraus ergibt sich hach dem Auflösen, dass sich Bruder über Bruder um 13⁄5 Schekel erhoben hatte.
Auf dem Keilschrifttäfelchen aus Uruk ist das Ergebnis in etwas anderer Form angegeben. Da die Babylonier nicht im Dezimalsystem rechneten, sondern im Sexagesimalsystem, das die 60 und nicht die 10 als Basis hat, schrieben sie die Lösung als 136⁄60. Dass die Stunde 60 Minuten, die Minute 60 Sekunden und der Vollwinkel 6 · 60 Grad hat, sind übrigens immer noch Überbleibsel aus Babylon.
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