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Selbstähnlichkeit von Mustern

(Paul Christian Bruhn)
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chair tiling chair tiling Es gibt Muster, deren Grundbausteine sich so zusammenfügen lassen, daß eine vergrößerte Version des Grundbausteins entsteht. Ein Beispiel ist das zweidimensionale chair tiling: Je vier kleine chairs  lassen sich zu einem großen zusammenlegen, und ein großes läßt sich in vier kleine aufteilen. Diese Vorgänge bezeichnet man als In- bzw. Deflation. Die Eigenschaft, durch Zusammenlegen bzw. Aufteilen wieder im wesentlichen das gleiche Muster auf einer anderen Größenskala zu erhalten, bezeichnet man als Selbstähnlichkeit oder Skaleninvarianz. Die Definition für Selbstähnlichkeit läßt sich wie folgt schreiben [Quelle: Brockhaus Enzyklopädie]: Skaleninvarianz ist die Invarianz bestimmter Strukturen im Raum oder in der Zeit, d. h. ihre Eigenschaft, daß bei einer Vergrößerung ein Teil in das ursprüngliche Ganze (Inflation) und bei einer Verkleinerung das Ganze in eines seiner urprünglichen Teile (Deflation) übergeht, und das idealerweise exakt (d. h. als Abbildung in sich selbst). Das ist bei gewissen geometrischen Konstruktionen wie dem chair tiling erfüllt (links).

Durch dieses Verfahren können wir das gesamte Muster aus einer einzigen Ausgangszelle aufbauen. Um eine bestimmte Anzahl von Tiles zu erreichen, brauchen wir nur ein großes Tile genügend oft zu deflatieren. Das Sphinx-Muster, welches durch Deflation aus einem Baustein hervorgeht, ist nicht-periodisch.SphinxEin Sphinx (unten rechts) kann in vier kleine Sphingen mit der halben Seitenlänge (und also einem Viertel des Flächeninhalts) unterteilt werden, wobei die unteren zwei Sphingen gespiegelt werden. Der Sphinx, der zwischen diesen beiden Sphingen liegt, wird ebenfalls gespiegelt und zusätzlich um 180° gedreht. Der Sphinx, der die Spitze des großen Sphinx bildet, ist nicht gespiegelt, dafür aber um 120° gedreht. Die Tatsache, daß ein großer Sphinx aus gespiegelten und ungespiegelten Sphingen zusammengesetzt wird, ist der Grund dafür, daß das Sphinx-Muster genau wie das chair tiling aperiodisch ist.

De- bzw. Inflation von Pfeil und DracheDas Penrose-Muster dagegen ist quasiperiodisch. Es wurde von dem britischen Mathematiker Roger Penrose entwickelt. Er war der erste, der ein Set von nur zwei verschiedenen Grundbausteinen fand, mit dem sich die Ebene quasiperiodisch parkettieren läßt. Eine Variante mit zwei Grundformen besteht aus einem Drachen und einem Pfeil (links).

Auch dieses Muster kann durch De- bzw. Inflation erstellt werden. Dabei handelt es sich aber nicht um Abbildungen der Bausteine in sich selbst, wie es bei den beiden oben erwähnten Mustern der Fall ist. Möchten wir einen Drachen zerlegen, erhalten wir zwei kleine Drachen und zwei Hälften kleiner Pfeile. Beim Zerlegen eines Pfeils erhalten wir dagegen nur einen kleinen Drachen, aber wiederum zwei Pfeilhälften (links Mitte und unten).

Am einfachsten lassen sich In- und Deflation an der Fibonaccikette verdeutlichen, da es sich hier um eine eindimensionale quasiperiodische Kette handelt. Sie besteht aus einer Abfolge von kurzen (S) und langen (L) Abständen, z.B.: ...LSLLSLSLLSLLSLSLLSLSL... Bei der Deflation wird jeder kurze Abstand S zu einem langen Abstand L. (In Wirklichkeit bleibt er unverändert; man nennt ihn nur jetzt lang statt kurz, weil der Betrachtungsmaßstab sich geändert hat.) L dagegen wird zu LS, die Kette LSL wird also im ersten Deflationsschritt zu LSLLS, wobei beide Ketten gleich lang sind, die zweite aber eine feinere Aufteilung besitzt. Nach drei weiteren Deflationsschritten erhalten wir die oben erwähnte Kette. Die Inflation geschieht entgegengesetzt, aus einem L, dem ein weiteres L folgt, wird S, und aus der Kombination LS wird L.

Geometrisch können wir die Fibonaccikette durch den Streifenprojektionsformalismus erhalten. Das Verfahren wird ausführlicher im Beitrag von Sabine Fischer und Marina Galovic beschrieben. Im Akzeptanzbereich des Streifens liegen verschiedene Punkte des Gitters. Diese Punkte werden auf den Parallelraum projiziert. Es entstehen dabei lange (L) und kurze (S) Abstände zwischen den projizierten Punkten.

Nun können wir auf zwei verschiedene Weisen eine Deflation durchführen. Entweder vergrößern wir den Streifen, so daß er der Verschiebung der Voronoizelle eines Z2 mit doppelter Gitterkonstante entspricht. Dadurch liegen natürlich mehr Punkte im Akzeptanzbereich. Nun ist es so, daß in "alten" S-Abschnitten keine neuen Punkte liegen (sie werden zu den "neuen" L-Abschnitten), aber in den L-Abschnitten ist jeweils ein neuer Punkt, der den "alten" L-Abschnitt in einen "neuen", kleineren L-Abschnitt und einen noch kleineren S-Abschnitt teilt.

Die zweite Möglichkeit ist, das Gitter Z2 selbst zu deflatieren: Zwischen jeweils zwei Gitterpunkte wird ein neuer gesetzt und in die Mitte jeder "alten" Einheitszelle auch ein Punkt. Dadurch liegen wieder neue Punkte im selben Akzeptanzbereich, und es geschieht dasselbe wie bei der ersten Möglichkeit.

Bei einem quasiperiodischen Muster ist es immer interessant zu wissen, wie sich die Anzahlen der beteiligten Grundbausteine verhalten. Um die Anzahl von langen Abschnitten in der Fibonaccikette nach dem vierten Deflationsschritt in Erfahrung zu bringen, können wir ausgehend von einem S die Schritte einzeln durchgehen. Diese Methode mag bei wenigen Schritten noch machbar sein, aber wenn Verhältnisse nach mehreren hundert Schritten verlangt werden, ist dies sehr zeitaufwendig. In dem Fall lohnt es sich, sich dem Problem mathematisch zu nähern. Ich werde dies jetzt anhand des oben erwähnten Penrose-Musters erläutern.

Wie schon gesagt, deflatiert ein Drachen D zu zwei kleinen Drachen und zwei halben kleinen Pfeilen, die flächenmäßig einem kleinen Pfeil entsprechen:

D ® 2D + 1P     (1)

Analog deflatiert der Pfeil P zu einem kleinen Drachen und wiederum flächenbezogen einem kleinen Pfeil, also:

P ® 1D + 1P     (2)

Wenn man nun die Anzahl der Drachen und die Anzahl der Pfeile als Spaltenvektor darstellt, sieht das für 13 Drachen und acht Pfeile folgendermaßen aus:

æ
è
13
8
ö
ø
.
Anhand der Bildungsvorschriften (1) und (2) kann nun eine Substitutionsmatrix M erstellt werden, die die Veränderungen der beiden Anzahlen beschreibt:

M = æ
è
2
1
  1
1
ö
ø

Die erste Zeile steht für Bildungsvorschrift (1) und die zweite Zeile für Bildungsvorschrift (2). Wenn wir nun von einem Drachen ausgehen, haben wir den Spaltenvektor

æ
è
1
0
ö
ø
.
Auf diesen Vektor wenden wir die Substitutionsmatrix M an:

M æ
è
1
0
ö
ø
= æ
è
2
1
  1
1
ö
ø
æ
è
1
0
ö
ø
= æ
è
2
1
ö
ø
.

Entsprechend der Deflationsvorschrift bekommen wir für einen Drachen zwei kleine Drachen und einen Pfeil. Nun können wir M wieder auf das Ergebnis anwenden und erhalten das Verhältnis beider Grundformen nach zwei Deflationen. Dies sieht dann folgendermaßen aus:

æ
è
2
1
  1
1
ö
ø
æ
è
2
1
ö
ø
= æ
è
2
1
  1
1
ö2
ø
æ
è
1
0
ö
ø
= æ
è
5
3
ö
ø

Wir sehen also, daß nach zwei Deflationsschritten fünf Drachen und drei Pfeile vorhanden sind. Das Ergebnis nach n Deflationsschritten erhalten wir dann durch n-maliges Anwenden von M. Für die n-te Potenz von M ergibt sich

Mn = æ
è
f2n
f2n-1
  f2n-1
f2n-2
ö
ø
,

wobei fn die Fibonaccizahlen sind. Die Anzahlen der Bausteine nach n Schritten haben dann das Verhältnis f2n/f2n-1, welches für n ® ¥ gegen die Goldene Zahl t geht. Im Muster selber ist also das Verhältnis von der Anzahl der Drachen zur Anzahl der Pfeile gleich t.


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