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Mathematik

Unendlich minus Unendlich = Pi?

Zwei Unendlichkeiten voneinander abziehen und als Ergebnis die Kreiszahl Pi erhalten? Kein Taschenspielertrick, sondern ernsthafte Mathematik. Was man daraus über unendliche Summen lernt, zeigt der "Mathologer" Burkard Polster.
Riemann's paradox: pi = infinity minus infinity

Veröffentlicht am: 09.07.2016

Laufzeit: 0:11:57

Sprache: englisch

Pi fasziniert. Die Zahl mit der unschuldigen 3 vor dem Komma kommt mit einem Schwanz von Nachkommastellen daher, die nie abbrechen und sich auch nie wiederholen. Und so nimmt der als "Mathologer" bekannte Burkard Polster, Professor an der renommierten Monash University in Melbourne, sie nur zu gern als Aufhänger für dieses gelungene YouTube-Video. Und führt dem staunenden Publikum vor, wie man den Zahlenwert von Pi erhalten kann: indem man nämlich Unendlich von Unendlich abzieht. Ein Taschenspielertrick? Sie ahnen es: natürlich nicht, sondern korrekte Mathematik.

Bekannt ist Pi als Kreiszahl, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises (2πr) zu dessen Durchmesser (2r) angibt. Allerdings ist Pi keine rationale Zahl – lässt sich also nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen a/b darstellen –, sondern eine irrationale. Das bewiesen zuerst Johann Heinrich Lambert im 18. Jahrhundert und dann noch einmal auf andere Weise Charles Hermite im 19. Jahrhundert. Wir müssen also damit leben, dass wir der Zahl nur einen Namen geben, sie aber niemals aufschreiben können – denn für das Notieren ihrer unendlich vielen Nachkommastellen bräuchten wir unendlich lange.

Damit nicht genug: Selbst inmitten der notorisch widerspenstigen irrationalen Zahlen erweist sich Pi als besonders auffälliges Exemplar. Denn die Kreiszahl ist nicht einmal algebraisch (manche anderen irrationalen Zahlen hingegen schon). Dann gäbe es nämlich eine Polynomgleichung, für die Pi die Lösung darstellen würde. Als algebraische Zahlen bezeichnet man Lösungen von Gleichungen wie dieser: 4x3+2x+3=0. Die linke Seite ist dabei ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, oder noch genauer: die Summe von Vielfachen der Variablen x, wobei x eine natürliche Zahl als Exponenten hat. Doch egal, was man anstellt: Keine noch so komplexe Gleichung dieser Art hat die Kreiszahl als Lösung.

Und so gehört Pi sogar zur sperrigsten Gruppe ihrer irrationalen Verwandten: Da sie nicht algebraisch ist, muss sie transzendent sein. Transzendete Zahlen bereiteten Mathematikern lange Zeit besonderes Kopfzerbrechen. Tatsächlich gelang es erst 1844 dem Mathematiker Joseph Liouville, ein allererstes Beispiel für eine solche Zahl zu konstruieren und ihre Transzendenz auch zu beweisen.

Dass dies nicht früher gelang, ist ziemlich überraschend, schließlich verstecken sich diese Zahlen keineswegs. Im Gegenteil: die allermeisten Zahlen auf dem Zahlenstrahl sind transzendent! Würde man mit verbundenen Augen auf irgendeine Stelle des Zahlenstrahls zeigen, dann betrüge die Wahrscheinlichkeit, eine transzendente Zahl zu treffen, nahezu 100 Prozent. Rationale und algebraische Zahlen kommen uns zwar viel vertrauter vor. Der Normalfall – darum allerdings kein Stück weniger geheimnisvoll!  – sind hingegen transzendente Zahlen wie Pi.

Wie gelingt es dem Mathologer nun, Pi als Ergebnis einer Gleichung auszudrücken? Indem er geschickt mit unendlichen Summen hantiert. Mathematisch gilt, dass man Terme einer unendlichen Summe nicht einfach wie Terme endlicher Summen behandeln darf. Während man in Summen, in denen endlich viele Zahlen addiert und subtrahiert werden, beliebig umklammern oder Terme (mitsamt ihrer Vorzeichen) vertauschen kann, gilt das in unendlichen Summen im Allgemeinen nicht.

Ganz im Gegenteil: Wie Burkard Polster zeigt, lassen sich in bestimmten unendlichen Summen Terme auf systematische Weise in Klammern zusammenfassen oder gegeneinander austauschen, dass es nur vom Geschick des Rechnenden abhängt, was am Ende dabei herauskommt. Dass es in seinem Fall ausgerechnet Pi ist, hängt wohl einzig und allein damit zusammen, dass "Pi = Unendlich minus Unendlich" einen äußerst reizvollen Titel für ein YouTube-Video abgibt. Tatsächlich hätte seine Rechnung, geeignet variiert, zu jeder beliebigen anderen Zahl führen können.

Polsters Trick liegt übrigens der so genannte Riemannsche Umordnungssatz zu Grunde. Der funktioniert aber nur mit bestimmten Typen von unendlichen Summen. Andere Summen sind gutwilliger: Sie führen auch dann zum selben Ergebnis (Mathematiker würden sagen: sie konvergieren gegen denselben Grenzwert), wenn man neu klammert oder Summenterme vertauscht. Ein Beispiel gefällig? \[\sum_{n=1}^\infty {1 \over n^2} = {\pi^2 \over 6} \] – das gilt, wie immer man klammert oder umordnet. Mit solchen "unbedingt" konvergenten Reihen hat man allerdings auch weniger Spaß – ganz anders als mit den wunderbar bösartigen Beispielen, die uns der Mathologer so unterhaltsam vorführt.

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