Logik: Warum Gödels Unvollständigkeitssatz Mathematikern ein Graus ist
Der österreichische Mathematiker Kurt Gödel war gerade einmal 25 Jahre alt, als er 1931 mit einer Veröffentlichung das Gebäude der Mathematik ins Wanken brachte. Bis zu dieser Publikation hatten Mathematiker stets angenommen, alle wahren Aussagen der Mathematik ließen sich aus geeigneten Grundsätzen ableiten, so genannten Axiomen. Jede wahre mathematische Aussage wie beispielsweise: "Die Winkelsumme im Dreieck beträgt im Rahmen der euklidischen Geometrie 180 Grad.", ließe sich dann mit Hilfe dieser Axiome beweisen. Die Axiome selbst bleiben ohne weitere Begründung, sie werden als wahr vorausgesetzt.
Einen kleinstmöglichen und doch vollständigen Satz von Axiomen zu finden, aus denen sich die gesamte Mathematik ableiten ließe, dies hatte um 1900 der berühmte Mathematiker David Hilbert auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress in Paris noch als "Problem Nummer 2" auf seiner Liste der 23 größten mathematischen Probleme des 20. Jahrhunderts aufgeführt. Niemand hätte damals wohl geahnt, dass sich das ganze Projekt als unmöglich herausstellen sollte.
Doch dann trat Gödel auf den Plan. Eigentlich ist kaum zu glauben, was ihm mit seinem so genannten Unvollständigkeitssatz gelang: Er bewies, dass sich eben nicht jede wahre mathematische Aussage aus einem Satz von Axiomen beweisen lässt. Anders gesagt: Es gibt in jedem Axiomensystem immer auch Sätze, die nicht innerhalb des Systems beweisbar sind.
Mathematikern ist sein Ergebnis bis heute ein Graus: Sperrt sich ein Satz gegen einen Beweis, bleibt oft lange Zeit unklar, ob einfach nur die Beweisführung sehr schwierig ist oder ob der Satz schlicht unbeweisbar ist.
Wie aber ging Gödel überhaupt vor? Im Video des YouTube-Kanals Numberphile von Brady Haran bringt der Mathematiker Marcus du Sautoy von der Cambridge University, der dort auch Professor für Public Understanding of Science ist, das Problem sehr gut auf den Punkt. Die Beweisführung selbst deutet er jedoch nur kurz an (bei Minute 6:30).
Werfen wir daher selbst einen genaueren Blick auf die faszinierende Methode, die Gödel anwandte. Geschickt übersetzte er Worte und Sätze – in Zahlen! Anschließend konnte er mit Hilfe der Mathematik zeigen, was sich zuvor nur mit sprachlichen Argumenten fassen ließ. Im ersten Schritt schrieb er eine in Worte gefasste mathematische Aussage in Form mathematischer Symbole nieder, so genannten Quantoren. Beispielsweise wird aus dem Satz "Wenn A gleich B ist, dann ist auch B gleich A" die Quantoren-Formulierung: "A=B THEN B=A". So weit, so unproblematisch. Dann folgte Gödels geniale Idee, ein Verfahren, das bis heute als Gödelisierung bekannt ist. Er wies nämlich jedem Quantor eine Primzahl zu. So erhält beispielsweise das "A" die 11, das "=" die 5, das "B" die 17 und so fort. Anschließend bildete er ein Produkt aus nach Größe sortierten Primzahlen (ein Beispiel wäre 2 * 3 * 5). Schließlich setzte er in den Exponenten von jedem Faktor dieses Produkts gerade die den Quantoren zuvor zugeordneten Zahlen (in unserem Beispiel: 211 * 35 * 517...).
Wozu das alles? Rechnet man dieses (riesige!) Produkt aus, ist das Ergebnis eindeutig: Es gibt keine anderen Produkte dieser Art, mit denen man zum gleichen Ergebnis, zur gleichen Zahl gelangen würde. Umgekehrt lässt sich jede solche Zahl – zumindest theoretisch – auch wieder in den Ausgangssatz zurückübersetzen. (Dies liegt an der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung). Indem er also mathematische Aussagen in Zahlen übersetzte, mit denen er anschließend Berechnungen anstellte, hob Gödel seine Ideen aus der Sphäre rein sprachlicher Argumente heraus und machte sie berechenbar und beweisbar – und gelangte so zu seinem Unvollständigkeitssatz.
Von diesem war er "jahrelang regelrecht besessen", bekennt Marcus du Sautoy gleich zu Beginn des Videos. Kein Wunder: Gödel war es gelungen, mit Mathematik über Mathematik zu sprechen.
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