Komplexe Zahlen: Was ist i hoch i? – Wenn imaginäre Zahlen reell werden
Mathematik entwickelt sich immer dann weiter, wenn sie scheinbar an ihre Grenzen gerät. So war es auch, als Mathematiker für Gleichungen der Form x2+1=0 Lösungen suchten. Auf der Zahlengeraden – auf der die so genannten reellen Zahlen leben – kann man danach nämlich lange suchen. Dort findet sich schlicht kein x, das die Gleichung erfüllt. Ist sie also mathematisch unlösbar?
Diese vertrackte Frage ist fast 500 Jahre alt: Bereits um 1545 war der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Werk "Ars magna" auf Gleichungen gestoßen, die im Raum der reellen Zahlen nicht lösbar waren. Dazu hätte er die so genannte imaginäre Einheit i gebraucht. Doch die wurde erst im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler eingeführt.
Seither haben sich die Mathematiker in der Kunst des Umgangs mit i geübt. Was geschieht beispielsweise, wenn man i mit sich selbst potenziert? Dies zeigt unterhaltsam und gut verständlich der YouTuber und Physiker Matt Parker, der auch den schönen Titel des "Popular Lecturer" der Londoner Mathematischen Gesellschaft trägt. Ein kompaktes Video, das unterhaltsam die komplexen Zahlen zugänglich macht und einen Ausflug in die komplexe Ebene erlaubt: sehenswert.
Der Ausflug lohnt sich aus vielerlei Gründen. Eulers imaginäre Zahlen sind nichts Eingebildetes, Imaginäres – daher ist ihre Bezeichnung ein wenig missverständlich. Im Gegenteil: Sie lassen sich genauso klar verorten wie die reellen Zahlen (und man kann nach festen Regeln mit ihnen rechnen). Nur liegen sie eben nicht auf dem Zahlenstrahl, sondern auf einer Fläche, die der Zahlenstrahl und eine senkrecht durch dessen Nullpunkt verlaufende Linie aufspannt. Entlang dieser senkrechten Linie werden die imaginären Zahlen dargestellt: Die imaginäre Zahl 3i beispielsweise – also ein Dreifaches der imaginären Einheit i – liegt auf der senkrechten Linie an der Stelle "3".
Zwischen imaginären und reellen Zahlen besteht also eine sehr enge Verbindung. Wir haben es eben gesehen: Multiplizieren wir die reelle Zahl 3 des Zahlenstrahls mit der imaginären Einheit i, dann liegt das Ergebnis 3i plötzlich auf der senkrechten Linie. Das ist, als hätten wir den Ort der Zahl 3 auf dem Zahlenstrahl um 90 Grad um dessen Nullpunkt gedreht. Multiplizieren wir 3i erneut mit i (und verwenden die Regel, dass i2=−1), lautet das Ergebnis −3. Damit sind wir wieder zurück auf dem Zahlenstrahl, diesmal links von der Null, in den negativen Zahlen – ganz so, als hätten wir zweimal um 90 Grad gedreht.
Offenbar hängen imaginäre Zahlen nicht nur mit ihren reellen Verwandten eng zusammen, sondern auch mit Rotationen. Und da Rotationen mit Hilfe von Sinus- und Cosinus-Ausdrücken beschrieben werden können, kann man auch imaginäre Zahlen in geschickter Weise mit Winkelfunktionen verbinden, etwa in der berühmten Eulerschen Formel eiφ=cosφ+i sinφ.
Spätestens dies belegt, dass imaginäre Zahlen keineswegs eingebildet sind, sondern einen gewissen Realitätsstatus zu beanspruchen scheinen. Tatsächlich nutzen viele Naturwissenschaften die Eulersche Formel und können mit ihrer Hilfe voraussagen, was in der physikalischen Welt geschieht. Um nur eines von vielen Beispielen zu nennen: Mit der quantenmechanischen Wellenfunktion, die Eulers Gleichung verwendet, lässt sich unter anderem berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass ein radioaktives Teilchen zerfällt.
Wem all das doch nicht praktisch genug ist, dem sei ein weiteres Video von Matt Parker ans Herz gelegt: In diesem hier hat er sich mit der mathematischen Optimierung von Strategien beschäftigt, beim Spiel Monopoly zu gewinnen.
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