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04.08.2007, Dr. Rudolf Winkel, Heidelberger Str.95, 69190 Walldorf
Sind die beiden Urlauber, die nach den vom Versicherungssachbearbeiter gestellten Spielregeln nicht zum einzig logischen Ergebnis kommen, "irrational" und nicht konsequent genug? Oder zu spontan und emotional? Oder schlicht dumm?
Oder ist die Spieltheorie mit ihren Gleichgewichtsdefinitionen als Theorie noch nicht ausgereift genug, um die Wirklichkeit der Wirtschaft und die experimentellen Befunde zu erklären?
Weder noch.
Die beiden Urlauber nehmen sich einfach die Freiheit, sich nicht gegeneinander ausspielen zu lassen. Sie konkurrieren nicht gegeneinander, sondern kooperieren gegen das "System". So stellen sie sich auch gar nicht erst die Fragen, die in letzter Konsequenz zu Ende gedacht zu dem für beide bitteren Ergebnis des Nash-Gleichgewichts führen.
Sie spielen nicht mit - und das kann auch sehr rational sein.
Mein erster Gedanke beim Lesen des Artikels war spontan: "Was interessieren mich die lausigen zwei Euro? Es ist reine Zeit- und Energieverschwendung und somit völlig unwirtschaftlich (=irrational), mir darüber den Kopf zu zerbrechen."
These: Spieltheorie führt doch zum Ziel. Es ist alles eine Frage der Wertmaßstäbe.
Betrachten wir zunächst einmal das Problem ohne die Bedingung der Strafzahlung:
Jeder Spieler wählt nun den maximalen Betrag von 100, da sich durch Reduzierung die Auszahlung unter keinen Umständen verbessern lässt.
Führen wir nun die Strafgebühr ein, sind zwei Fälle zu unterscheiden:
A) die Strafgebühr ist gering und tangiert mich unter Berücksichtigung des möglichen Gewinnes subjektiv nicht:
Hier wird die Nebenbedingung außer Acht gelassen (sprich: die Strafgebühr hat den Wert 0) und die optimale Strategie bleibt der maximale Auszahlungsbetrag, 100.
B) die Strafgebühr ist hoch, z. B. 50, und der Verlust täte mir weh:
Die Nebenbedingung kann nun nicht mehr vernachlässigt werden und die optimale Strategie ist der minimale Auszahlungsbetrag, 50.
Diese beiden Strategien in Abhängigkeit von der Höhe der Strafzahlung treten deutlich in den angeführten Studien hervor.
Stellungnahme der Redaktion
Das ist eine weitere Eigenschaft des fiktiven "rationalen Nutzenmaximierers", den sich die klassische Spieltheorie vorstellt: Denken kostet ihn nichts. Manche Marktmodelle beziehen zwar Kosten der Informationsbeschaffung ein; aber die Kosten der Informationsverarbeitung werden in der Regel nicht berücksichtigt.
Die nächste schwierige Frage folgt gleich auf dem Fuße: Wenn ich „Rundungsfehler“ akzeptiere und eine Strafgebühr von 2 gleich null setze, damit es einfacher zu denken ist, wo ist dann die Bagatellgrenze? Wovon hängt es ab, ob ich so eine nervige Gebühr ignoriere oder für voll nehme?
Im Grunde scheinen die drei Lösungsvorschläge von M. Krupp, Torsten Schöning und mein eigener keine Antworten der klassischen Spieltheorie zu sein. Alle "überziehen" die Strategien mit einer Wahrscheinleichkeitsverteilung. T. Schöning und ich verwenden die Gleichverteilung, weil analytisch lösbar und anschaulich diskutierbar, und M. Krupp verallgemeinert die gerade genannten Ansätze, indem er eine dem Problem angepasste Verteilung nutzt. Er wird einem mit der Spieltheorie vertrauten Mitspieler sicher eine andere Verteilung zuweisen als einem "Laien". Die bestangepasste Verteilung zu finden, ist vielleicht gerade des Problem einer erweiterten Spieltheorie.
Klar ist auch, dass ich nicht 100 mal nach China fliegen kann, um dann mit 100 zerschlagenen Mingvasen das Spiel zu testen. Auch haben Sie (Christoph Pöppe) Recht, dass ich die Gleichverteilung nicht begründen kann, höchstens mit einer Anleihe bei der statistischen Physik, die das Prinzip maximaler Unbestimmtheit, bei dem die Gleichverteilung zu maximaler Entropie führt, erfolgreich anwendet. Vielleicht ist dies aber auch nicht zu weit hergeholt, denn in Ihrem Artikel "Die Quadratwurzel, das Irrationale und der Tod" betrachtet ja ein statistischer Physiker die Wähler auch als "Spingas".
Ein interessanter Artikel mit „eigentlich“ einfacher Lösung – nur nicht für Spieltheoretiker.
Ziel: Ich möchte nicht mehr Gewinn als mein Mitspieler (klassische Spieltheorie), sondern meinen Gewinn maximieren, gleich was mein Mitspieler gewinnt.
Annahme: Ich kenne nicht die Strategie meines Mitspielers und nehme an, dass jede Wahl (von 2 bis 100) gleichwahrscheinlich ist. Weiter setze ich voraus, dass der minimale Strategiewert (hier 2) immer gleich der Höhe der Belohnung/Bestrafung ist.
Dann berechne ich für jede meiner Strategien x den Erwartungswert aus den Werten der entsprechenden Spalte der Auszahlungsmatrix. (Dies tut auch mein Mitspieler mit den entsprechenden Zeilen). Das reduziert die Auszahlungsmatrix auf zwei (wegen der Symmetrie des Problems) gleiche Auszahlungsvektoren, deren Werte durch folgende Auszahlungsfunktion berechenbar sind:
M bezeichne den Wert der maximalen Strategie (100) und m den der minimalen Strategie (2), der nach Voraussetzung gleich dem Wert der Belohnung/Bestrafung ist, x sei meine Strategie und A(x) der zu erwartende Auszahlungswert bei gewählter Strategie x.
Diese Funktion hat genau ein Maximum bei max=M-2m+1/2, was die zweite Ableitung (bei stetig gedachtem x) bestätigt. Dass im konkreten Fall zwei benachbarte Maxima existieren, ist der Ganzzahligkeit der Aufgabenstellung geschuldet.
„Bläst“ man die beiden Auszahlungsvektoren zu einer entsprechenden Auszahlungsmatrix auf, so ist das Paar (M-2m+1/2 ; M-2m+1/2) ein Nash-Gleichgewicht. Wächst m, so wandert das Gleichgewicht nach „links oben“ und wird für m=M/3 gleich dem „klassischen“ spieltheoretischen Nash-Gleichgewicht.
Diese einfache Betrachtung löst – nach meiner Ansicht – die im Artikel genannten Probleme. Die Menschen handeln vernünftig oder rational, wenn sie wegen ihrer Unkenntnis einfach schätzen. Und die Menschen schätzen gut, wie die Versuche zeigen, selbst Spieltheoretiker.
Stellungnahme der Redaktion
Bei Unkenntnis der Situation schließen Statistiker gerne auf Gleichverteilung – ein legitimes Verfahren, das in diesem Fall allerdings nur schwer zu rechtfertigen ist: Ich weiß ja, dass mein Partner ebenfalls gierig ist und daher höhere Werte bevorzugen müsste.
Bemerkenswerterweise scheint es auf die Gleichverteilungsannahme nicht besonders anzukommen: In seinem (zweiten) Leserbrief kommt Martin Rupp mit einem deutlich anderen Verfahren zum selben Ergebnis: 96 oder 97.
Etwas verspätet schließe ich mich der hoffentlich noch andauernden Flut an Leserbriefen an, die gegen die Einstellung der Preisrätselrubrik protestieren – mir ist erst jetzt bewusst geworden, dass eine monatliche Institution zu Ende gehen soll.
Für mich als mathematisch ungebildeten Hobbyprogrammierer waren die meisten der Rätsel mit einer idealen Mischung aus Nachdenken und Computerpower lösbar. Nicht selten habe ich am Kiosk zuerst zum Preisrätsel geschaut und mich danach zum Kauf entschieden (das müsste doch wirken).
Von der Dramaturgie ist ein Preisrätsel – auch wenn es keine Millionen-Euro-Frage gibt – doch etwas ganz anderes als eine Denksportaufgabe mit gleich zugänglicher Lösung.
Und außerdem – wenn die Beteiligung wirklich so niedrig war, warum habe ich dann nie gewonnen?
Der Artikel über das Urlauberdilemma erinnert mich an die Paradoxie der unerwarteten Hinrichtung:
"Einem Gefangenen wird mitgeteilt, er werde nächste Woche hingerichtet. Allerdings werde der Termin für ihn eine Überraschung sein. Nun überlegt er sich: Wenn ich am Samstag abend noch lebe, muss ich am Sonntag hingerichtet werden, was aber keine Überraschung wäre. Also fällt der Sonntag als Hinrichtungsdatum weg.
Dann weiß ich aber am Freitag abend, wenn ich noch lebe, dass ich am Samstag hingerichtet werde - ebenfalls keine Überraschung usw., ich kann also überhaupt nicht hingerichtet werden!
Am Mittwoch taucht, unerwartet, der Henker zur Hinrichtung auf."
(http://de.wikipedia.org/wiki/Paradoxon_der_unerwarteten_Hinrichtung)
Diese Paradoxie zeigt, dass Rückwärtsinduktion zu Fehlschlüssen führen kann.
Geht man nicht von einem "rückwärts induzierenden" Mitspieler aus, sondern postuliert, dass er unvorhersagbar / zufällig handelt, so erhält man bei den im Artikel verwendeten Bedingungen (Einsätze 2 bis 100 Euro, 2 Euro Strafe) folgende Ergebnisse: Am günstigen sind Einsätze von 97 oder 96 Euro, mit denen man im Durchschnitt 49,08 € als Ergebnis erzielen kann; bei Einsätzen von 93 bis 100 Euro erreicht man noch über
49 €; für kleinere Einsätze nimmt das Ergebnis kontinuierlich ab, so dass man bei 2 Euro Einsatz durchschnittlich nur 3,98 € bekommt.
Mit höheren Strafen verschiebt sich das Maximum zu immer niedrigeren Einsätzen.
Man kann auch eine Formel für das Ergebnis herleiten: Mein Einsatz sei n, die Strafe sei s. Dann bekomme ich in (100–n) Fällen, also immer wenn mein Mitspieler mehr bietet, n+s € ausgezahlt. In einem Fall (der Mitspieler bietet genauso viel) bekomme ich n €. In den verbleibenden (n–2) Fällen bekomme ich immer den Einsatz k des Mitspielers abzüglich 2 Euro ausgezahlt. Summation über k (arithmetische Reihe) ergibt für diese Fälle (n–2)/2*(n–1–s).
Gemittelt über alle 99 möglichen Einsätze des Mitspielers erhält man also das Ergebnis Es(n) = 1/99 * [ (100–n)*(n+s) + 1*n + (n–2)/2*(n–1–s)].
Diese Überlegungen führen für mich zu zwei Resultaten: Hohe Einsätze können doch logisch sein. Und wenn die Vasen wirklich nur 5 Euro gekostet haben, bringen hohe Strafen eher die Wahrheit ans Licht.
Stellungnahme der Redaktion
Rückwärtsinduktion ist und bleibt, wie die gewöhnliche Induktion, ein zulässiges Schlussmittel der Mathematik. Wenn ein Kettenglied unter allen Umständen wahr ist, hält die ganze Kette, und wenn sie aus noch so vielen Gliedern besteht.
Offensichtlich sind die Glieder der hier zur Debatte stehenden Kette zwar stark, aber nicht so unfehlbar stark, dass eine lange Kette nicht schwach sein, das heißt Unsinn produzieren, könnte.
Ich traute meinen Augen nicht, als ich las, was Spieltheoretiker für rationales Verhalten halten. Selbst die einzig richtige Entscheidung wird vom Autor als rational nicht nachvollziehbar, wenn auch offensichtlich richtig, angesehen, und er weiß selber nicht, wie er sich optimal in einer solchen Test-Situation verhalten soll.
Hier meine spontanen und laut Autor wohl irrationalen Gedankengänge:
1. Ich gehe von der Prämisse aus, dass der Mitspieler genauso rational und an Gewinnmaximierung interessiert ist wie ich und daher denselben Gedankengängen folgen wird und sich genauso entscheiden wird wie ich.
2. Der unter dieser Prämisse maximale Gewinn ist 100 Euro, wenn beide 100 Euro angeben. Alles andere endet in ergebnislosen Endlos-Schleifen.
Oder in der Langform:
1. Prämisse wie oben
2. Der höchstmögliche Gewinn ist 101 Euro, den man aber nur dann erreicht, wenn der eine 100 und der andere 99 wählt.
3. 98 oder weniger zu wählen ist völliger Unsinn, da damit höchstens 100 Euro Gewinn erreicht werden könnten. Das Maximum von 101 ist also unerreichbar geworden. Das Ganze birgt aber das Risiko, dass der Mitspieler sich gleich mir verhält und man so beliebig weit vom Maximum entfernt landen kann, indem man sich gegenseitig unterbietet.
4. Es ergibt sich also eine Endlosschleife zwischen 99 und 100.
1. Fall: 99 / 100 Ergebnis: 101/98
2. Fall: 99 / 99 Ergebnis: 99/99
3. Fall: 100 / 100 Ergebnis: 100/100
4. Fall: 100 / 99 Ergebnis: 98/101
Wählt der erste Spieler 99, dann hat er also einen durchschnittlichen Gewinn von 100. Wählt er 100 hat er einen durchschnittlichen Gewinn von 99. Daher wäre 99 die optimale Wahl.
5. Zu diesem Schluss muss der Mitspieler aber auch kommen. Und er erkennt, dass er jetzt nur noch die Möglichkeit hat, 98 Euro anzugeben, um mehr herauszuschlagen. Und schon hängen er und sein Mitspieler in der im Artikel beschriebenen Abwärtsspirale, die einen aber vom Ziel des maximalen Gewinns immer weiter weg führt und daher völlig unzweckmäßig ist. Das erkennt jeder (es sei denn, er ist Spieltheoretiker).
6. Man erkennt daraus, dass sich alle Beteiligten stillschweigend kollegial verhalten müssen, um wenigstens die 100 Euro einzustreichen. Dies geschieht ohne eigenen Nachteil, da auch vorher der durchschnittliche Gewinn bei lediglich 100 Euro lag, wenn man 99 Euro angegeben hat (Punkt 4). Auch wenn man wie in Punkt 5 beschrieben 98 Euro angeben würde, hätte man keinen Vorteil gegenüber der 100 Euro-Angabe.
7. Daher ist die optimale Antwort die Angabe von 100 Euro. (Und wenn sie es nicht ist, dann ist der Fehler der kleinst mögliche.)
(8. Wenn das aber so ist, dann kommt man mit der Angabe von 99 Euro doch noch etwas weiter ... aber ist dann auch noch der mögliche Fehler minimal?)
Bestärkend kommt noch eine Faustregel oder Strategie hinzu:
Wenn der Mitspieler weniger angeben sollte als ich, dann setzt er das Limit, nicht ich. Hätte ich noch weniger als er angegeben, dann wäre es sehr wahrscheinlich, dass ich dann am Ende immer noch schlechter dagestanden hätte, als wenn ich sein Limit nicht unterboten hätte.
Auch hier gilt: Verfolgen beide diese Strategie, werden beide wieder bei 100 Euro landen.
Insgesamt erkenne ich, wie anscheinend über 55% aller Menschen, nicht, wo da ein Dilemma sein soll. Als irrational kann ich so ein Verhalten auch nicht bezeichnen, wie ich hoffentlich weiter oben klarmachen konnte.
Es ist bezeichnend für die "Rationalität" von Spieltheoretikern, wenn sie selbst nicht mal in der Lage sind, das optimale Verhalten zu erkennen, selbst wenn sie es nicht mathematisch formulieren können. Jedenfalls sind die im Artikel genannten Hyphothesen über die "irrationalen" Entscheidungsursachen dermaßen abstrus bis arrogant, während sie ihre 2 Euro-Theorie als einzige rational nachvollziehbare Lösung ansehen, dass die Spieltheorie und ihre Vertreter in meinen Augen massiv an Ansehen und Glaubwürdigkeit verloren haben.
Stellungnahme der Redaktion
Vorsicht beim Gebrauch des Wortes "rational"!
Die Spieltheoretiker (und die Ökonomen) haben zuerst ein Modell eines sich vernünftig verhaltenden Menschen aufgestellt. Dieses Verhalten nannten sie "rational" und präzisierten ihr Modell, indem sie ihrem gedachten Menschen eine Reihe von Eigenschaften zuschrieben: nur am eigenen Nutzen interessiert, "gefühllos", insbesondere weder altruistisch (am Wohlergehen von seinesgleichen interessiert) noch missgünstig, und fähig, alle Handlungsmöglichkeiten bis ins Letzte durchzudenken. Nicht nur das: Bei diesem Durchdenken folgt er unweigerlich – durch seine Eigenschaften diktiert – einem gewissen Denkschema. Diesen Modellmenschen nannten sie weiterhin "rational".
Jetzt kommt Herr Basu und zeigt, dass die so definierten Modellmenschen sich in einer speziellen Situation, nämlich dem Urlauberdilemma, sehr unvernünftig verhalten. Also sind auf einmal "rational" im Sinne der Umgangssprache, "rational" im Sinne der Interessen des Modellmenschen und "rational" im Sinne seiner Handlungen drei verschiedene Dinge, die sämtlich mit demselben Wort bezeichnet werden.
Natürlich ist es reizvoll, mit dieser Mehrdeutigkeit zu spielen; das tut Basu auch mehrfach in seinem Artikel. Daraus zu schließen, die Spieltheoretiker seien unfähig, die verschiedenen Arten von Rationalität zu unterscheiden, halte ich für etwas voreilig.
Meiner Meinung nach optimiert Herr Basu die falsche Funktion. Er versucht, so wie ich das sehe, implizit die Wahrscheinlichkeit zu maximieren, dass Spieler A mehr Geld als Spieler B ausgezahlt bekommt.
Die eigentliche Fragestellung ist doch aber die Maximierung des Gewinnes. Die Funktion die maximiert werden soll lautet eigentlich:
GewinnA = minimum( a, b ) + w
wobei a und b die von Spieler A bzw. B gewählten Werte sind und w eine kleine Störung (von der Größenordnung 1 Euro) ist. (Die Funktion "minimum" nimmt den Wert der kleineren der beiden Größen a und b an. )
Nachdem Spieler A nur den Wert a optimieren kann, wird er offensichtlich den höchstmöglichen (=100) wählen. Erst in einem zweiten Schritt wird er sich über den Einfluss der kleinen Störung w Gedanken machen.
Für mich ganz und gar nicht überraschend schaut die Sachlage dann natürlich vollkommen anders aus, wenn w keine kleine Störung mehr ist, sondern in der Größenordnung von a und b liegt.
Wir können nun die beiden Extrema von w betrachten. Das eine Extrem ist w=0; hier werden beide Spieler offensichtlich den höchstmöglichen Wert 100 wählen. Wenn andererseits der Spieler mit dem kleineren Wert alles bekommt, werden, vermute ich, beide Spieler Richtung Nash-Gleichgewicht a=b=2 tendieren.
Im Gegensatz zum Autor des Artikels würde ich die Entscheidungen "der Leute" in dieser Art von Spiel sehr wohl als rational einstufen.
Ich stimme mit Ihrem vorletzten Absatz nicht überein:
Es ist gerade die im Originalartikal angewandte Methode der Schlussfolgerung, die ausschließlich auf dem Prinzip der "kleinen Schritte" aufbaut: 99 - der andere auf 98 - ich auf 97 usw. bis zur 2. Eine einseitige "radikale Änderung" nach unten führt immer zu einer geringeren Auszahlung; von einem vollen Überblick über die Zielfunktion kann also nicht die Rede sein.
Dabei stellt sich die Frage: Was ist überhaupt die Zielfunktion?
Die Zielfunktion ist der Gewinn. Diese soll optimiert werden. Das geschieht nicht in erster Linie durch Unterbieten des Mitspielers! Sind Bonus und Malus klein, so ist es egal, wer die höhere und wer die niedrigere Zahl nennt, solange beide eine hohe Zahl nennen.
Und der von Ihnen angesprochene Grundsatz der Spieletheorie könnte als Argument FÜR meinen Ansatz gesehen werden: Mein Mitspieler denkt genau wie ich. Wenn ich eine hohe Zahl nenne, wird er das auch tun!
Da aber keiner genau weiß, was der andere antworten wird, müssen beide Vermutungen darüber anstellen, welche Zahl der andere wahrscheinlich nennen wird.
Wenn beide nach dem Grundsatz der Spieltheorie handeln und das gleiche tun, folgt daraus ein Algorithmus, den ich hiermit zur Ermittlung der optimalen Strategie vorschlage:
1. Nimm für jede Zahl x eine (beliebige) Wahrscheinlichkeit p(x) an, mit der der Mitspieler diese Zahl wählen wird. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für alle x soll 1 sein.
2. Ermittle mit dieser Verteilung für jede Zahl y die mittlere Auszahlung a(y). (Das ist die Auszahlung, die man im Mittel in sehr vielen Spielen bekommen wird, wenn man immer die Zahl y nennt und sich der Partner an die angenommene Verteilung hält.)
Sie berechnet sich wie folgt:
wobei Summe x>y bedeutet: Summe von x=y+1 bis 100 (allgemein xmax). Entsprechend läuft Summex<y von 2 (allgemein xmin) bis y–1.
3. Erzeuge eine neue Verteilung: p(x) = a(x)/Summe(a)
4. Wiederhole 2. und 3. bis Konvergenz erreicht ist.
Ich habe diesen Algorithmus in einem einfachen Programm implementiert. Er scheint für alle Startverteilungen zu konvergieren.
Das Maximum der Auszahlung und der Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt bei x = 96 und x= 97. Es sei denn, man gibt als Startwert p(2)=1 vor, dann beobachtet man keine Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Dieser Algorithmus gibt auch die beobachteten Ergebnisse qualitativ wieder: Ist der Bonus/Malus groß, so liegt das Maximum bei der kleinstmöglichen Zahl.
Wesentlich interessanter ist aber folgende Feststellung:
Es gibt nicht „die“ optimale Zahl (für jede Zahl gibt es eine bessere). Aber es gibt für jede Zahl eine optimale Wahrscheinlichkeit, diese zu wählen, sodass man (und der Mitspieler, der durch die gleiche Überlegung auf dieselbe Verteilung kommt) den Gewinn insgesamt optimiert.
Stellungnahme der Redaktion
Ich bleibe dabei, dass im Rahmen der klassischen Spieltheorie große Sprünge möglich und sinnvoll sind. Ich sage zunächst 97; dann kommt mir wer weiß woher die Erkenntnis, dass mein Partner 6 sagen will. Daraufhin wechsle ich natürlich auf der Stelle zu 5 (und verbessere meine Auszahlung gewaltig: von 4 auf 7).
Der von Ihnen vorgeschlagene Algorithmus dürfte schwierig zu begründen sein (ich glaube nicht, dass er die erwartete Auszahlung maximiert, bin mir aber unsicher), aber trotzdem eine interessante Idee!
Das Urlauberdilemma mag als Gedankenspielerei ganz lustig sein, ist aber in den Schlussfolgerungen aus den Vorgaben ziemlich blödsinnig. Diese Schlussfolgerungen vernachlässigen nämlich völlig die Tatsache, dass jeder von einer Versicherung zumindest seinen Verlust ersetzt haben möchte. Die Auswahl 2 Euro ist also die denkbar schlechteste Möglichkeit für beide, und das wird wohl auch für Herrn Basu einsichtig sein.
Nimmt man nämlich den Fall, die Vase habe auf dem Trödelmarkt wirklich 5 Euro gekostet, so ist die Auswahl 2 Euro ein sicherer Verlust von 3 Euro mindestens für beide bzw. von einem Euro für einen und 5 Euro für den anderen. Eine solche Entscheidung wäre höchst irrational. Da man nur raten kann, was der andere macht, ist hier die einzige Möglichkeit, mit einiger Sicherheit wenigstens einen Euro Gewinn zu machen, die Auswahl 4 Euro. Geht man aber davon aus, daß der andere genauso denkt, resultiert für beide ein Verlust von einem Euro.
Geht man darüber hinaus von einer gewissen Gier des anderen aus, ist die Auswahl 5 Euro optimal. Das sichert einen bescheidenen Gewinn von 2 Euro und bestraft den Gierigen mit einem ebenso großen Verlust. Auf diese Weise bekommt der Versicherungsvertreter ehrliche Angaben, ist also doch nicht so dumm.
Die hier vorgestellte Idee einer "Crowd Farm" ist zwar auf den ersten Blick ein möglicher Schritt näher zur Lösung unseres Klimaproblems. Jedoch muss man beachten, dass die Herstellung der einzelnen Bodensegmente sowie deren Einbindung in das Stromnetzwerk, Wartungen und mögliche Reparaturen dermaßen hohe Energiebeträge verschlingen werden, dass es selbst bei jahrelanger intensiver Nutzung nicht zu einer positive Beeinflussung unseres Klimahaushaltes kommen wird. Zu beachten ist auch, dass sich solche Systeme, falls überhaupt effizient genug herstellbar, nur an Orten mit hoher öffentlicher Zirkulation einzusetzen lohnen; ein Vorortsbahnhof wäre denkbar ungeeignet. Selbst bei einem weltweiten kooperativen Einsatz der Technologie würde es vermutlich Jahrzehnte bis zur rentablen Nutzung dauern - allein der Transport der Platten sowie die Umrüstung der jeweiligen öffentlichen Einrichtungen würde wieder weitaus mehr Energie verbrauchen als letztendlich eingespart werden könnte. Zusammenfassend, so denke ich, wird diese Idee nicht über ihren Status als Vision hinwegkommen, wenn gerade mal 120 Joule pro Schritt und Bodenplatte an Energie erzeugt werden während deren Herstellung das x-fache erfordert hat.
Ein sehr interessanter Artikel zur Freude von Hund und Herrchen, da man sich nun besser versteht. Aber was ist mit Hund und Katz? Können Hunde wirklich vor Aufregung ihr Schwanzwedeln vergessen, wie von Herrn Vallortigara vermutet?
Meiner Meinung und meinen Beobachtungen nach nicht. Die Ursache sehe ich darin, dass sich der Hund auf sein Gegenüber konzentriert. Da die Katze "eigentlich" in das Beuteschema von Bello & Co gehört, ist der Hund angespannt. Somit resultiert die Aufregung aus einer konzentrierten Anspannung heraus.
Damit möchte ich den Hund allerdings nicht als Raubtier bezeichnen. Mit "eigentlich" beziehe ich mich auf die historische Abstammung vom Wolf . Der Zusammenhang von "Katze" und "Beute" ist noch rudimentär vorhanden und spielt die entscheidente Rolle zur Aufklärung des "fehlenden" Schwanzwedelns.
Der Hund fixiert die Katze, beobachtet sie und wägt ihre Reaktion ab. Dazu hält er seinen Körper angespannt. Deshalb wedelt er kaum oder gar nicht mit dem Schwanz. Als Haustier aufgewachsen, greift der Hund jedoch die Katze nicht an.
Obwohl sich die Begründung logisch anhört, hat sich ein Denkfehler eingeschlichen:
Es gibt nur einen einzigen Fall, in dem ich mein Ergebnis verbessere, indem ich eine niedrigere Zahl nenne. Nämlich dann, wenn mein Gegenüber um 1 höher liegt als ich oder ich genau um 1 höher liege als er. Liegt er weiter über meiner Zahl, könnte ich meinen Gewinn steigern, indem ich höhere Zahlen nenne. Liegt er darunter, ist es egal, in welche Richtung ich abweiche, das Resultat wird in fast jedem Fall dasselbe sein.
Darin besteht auch der große Unterschied zum Gefangenendilemma: Hier kann ich nur 1 darüber oder darunter liegen, was die Dramatik wesentlich erhöht.
Da ich aber nicht weiß, was mein Gegenüber antworten wird, kann ich daraus auch nicht ableiten, welche Zahl ich nennen soll.
Andererseits will ich meinen Gewinn maximieren. Dazu ist die 2 eine der schlechtest möglichen Antworten.
Wenn ich viel Geld bekommen will, muss ich eine möglichst hohe Zahl nennen! Und mein Gegenüber denkt ähnlich!
Es stellt sich ein wenig anders dar, wenn der Vertrauensbonus und die Strafe groß sind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit einer niedrigen genannnten Zahl einen hohen Gewinn zu erzielen (und entsprechend die Wahrscheinlichkeit, trotz hoher Zahl wenig oder nichts zu bekommen), sehr viel größer. Es lohnt sich in diesem Fall wesentlich mehr, die niedrigere Zahl zu haben.
Stellungnahme der Redaktion
Herr Rupp bringt, ohne es explizit zu machen, einen neuen Gedanken in die Diskussion ein: Anstelle beliebiger Änderungen der eigenen Strategie denke man nur über kleine Änderungen nach.
Vom Standpunkt der klassischen Analysis ist das eine nahe liegende Idee. Ich suche das Maximum einer Zielfunktion f(x), nämlich meiner Auszahlung, die von einer Variablen x abhängt, über die ich bestimmen kann, nämlich meiner eigenen Ansage. Das Nachdenken darüber, dass sie noch von einer anderen Variablen abhängt, über die ich nicht bestimmen kann, nämlich der Ansage meines Partners, verschiebe ich auf später. Ich beschränke mich darauf, über kleine Änderungen nachzudenken, weil ich meine Zielfunktion nur in der unmittelbaren Umgebung meines gegenwärtigen Standpunkts einigermaßen überschauen kann.
Wie finde ich das Maximum meiner Zielfunktion? Ein mögliches Verfahren ist das, was in anderem Zusammenhang als "Gradientenverfahren" geläufig ist. Ich habe eine vorläufige Vorstellung x von meiner Ansage und variiere x ein wenig (das heißt um genau einen Euro) in einer Richtung, in der f(x) ansteigt. Das wiederhole ich so lange, bis f(x) sich nicht mehr zum Besseren ändert. In unserem Fall läuft das darauf hinaus, x zu erhöhen, wenn mein Partner mit seiner Ansage deutlich höher liegt als ich, nichts zu tun, wenn er deutlich niedriger liegt, und nur in den beiden („Ausnahme“-)Fällen „der Partner liegt gleichauf“ und „der Partner liegt eins unter mir“ x zu erniedrigen. So gesehen scheint es einleuchtend, x zu erhöhen.
Diese Analyse verkennt zweierlei. Erstens ist die Beschränkung auf kleine Änderungen von der Sache her nicht geboten: Wir haben den vollen Überblick über unsere Zielfunktion und sind fähig, in einem einzigen Denkschritt unsere Ansage radikal zu ändern. Zweitens missachtet sie den klassischen Grundsatz der Spieltheorie: Mein Partner denkt genau wie ich (genauso rational oder eben genauso irrational). Also ist der Fall, dass er auf die gleiche oder eine sehr ähnliche Zahl kommt wie ich, nicht die Ausnahme, sondern die Regel.
Aber denken wir vielleicht (auch wenn unser Denken nicht von der klassischen Optimierung beeinflusst ist) von Natur aus eher in kleinen Schritten? Das ist eine interessante Frage.
Ich bin völlig einverstanden mit dem Hinweis, dass antiwissenschaftliche Weltanschauungen auf dem "Charme einfacher Weltbilder" beruhen, die in jeder menschlichen Ontogenese angelegt sind. Die Priorität für die wissenschaftliche Begründung dieser Einsicht liegt jedoch ganz klar bei Jean Piaget.
Nichts gegen Havard University, aber wir sollten doch die großen Forschergestalten aus "Old-Europe" nicht verleugnen.
Als ich im Juli-Heft die Überschrift las „Quantenradierer selbst gemacht“ war ich sehr gespannt wie man ein anschauliches Experiment der Quantenphysik anhand von einfach zu beschaffenden Komponenten durchführen kann. Alle benötigten Komponenten standen mir zur Verfügung. Beim Weiterlesen musste ich jedoch feststellen, dass das Experiment auch nur auf Basis der klassischen Wellentheorie erklärt werden kann. In Anbetracht dessen, dass die Exotik der Quantenphysik mit diesem Experiment veranschaulicht werden soll, aber diese gerade eben nicht eindeutig nachvollziehbar auftritt, war bei mir die Enttäuschung groß.
Ein Experiment zur Veranschaulichung von Effekten der Quantenphysik welches gleichermaßen, und vor allem verständlicher, durch die Wellentheorie erklärt werden kann, dient in meinen Augen weder dem Verständnis Quantenphysik, noch hebt es die Abgrenzung der Quantenphysik von der klassischen Physik hervor.
Unter solchen Umständen wirken die gegebenen Erklärungen zu den einzelnen Teilexperimenten wie phantastisches Geschwätz.
Aus meiner Sicht wäre es deutlich besser, wenn auch bei einem Anschauungsexperiment der Maßstab der Wissenschaftlichkeit angelegt werden würde. Die Abgrenzung der Quantenphysik zur klassischen Physik sollte eindeutig zu Tage treten. Hier liegt meines Erachtens die größte Bedeutung eines Anschauungsexperiments zum Verständnis von Quanteneffekten.
Nicht mitspielen kann auch rational sein
04.08.2007, Dr. Rudolf Winkel, Heidelberger Str.95, 69190 WalldorfOder ist die Spieltheorie mit ihren Gleichgewichtsdefinitionen als Theorie noch nicht ausgereift genug, um die Wirklichkeit der Wirtschaft und die experimentellen Befunde zu erklären?
Weder noch.
Die beiden Urlauber nehmen sich einfach die Freiheit, sich nicht gegeneinander ausspielen zu lassen. Sie konkurrieren nicht gegeneinander, sondern kooperieren gegen das "System". So stellen sie sich auch gar nicht erst die Fragen, die in letzter Konsequenz zu Ende gedacht zu dem für beide bitteren Ergebnis des Nash-Gleichgewichts führen.
Sie spielen nicht mit - und das kann auch sehr rational sein.
Subjektive Bewertung der Strafe
03.08.2007, Maik Sonnenberg, DüsseldorfThese: Spieltheorie führt doch zum Ziel. Es ist alles eine Frage der Wertmaßstäbe.
Betrachten wir zunächst einmal das Problem ohne die Bedingung der Strafzahlung:
Jeder Spieler wählt nun den maximalen Betrag von 100, da sich durch Reduzierung die Auszahlung unter keinen Umständen verbessern lässt.
Führen wir nun die Strafgebühr ein, sind zwei Fälle zu unterscheiden:
A) die Strafgebühr ist gering und tangiert mich unter Berücksichtigung des möglichen Gewinnes subjektiv nicht:
Hier wird die Nebenbedingung außer Acht gelassen (sprich: die Strafgebühr hat den Wert 0) und die optimale Strategie bleibt der maximale Auszahlungsbetrag, 100.
B) die Strafgebühr ist hoch, z. B. 50, und der Verlust täte mir weh:
Die Nebenbedingung kann nun nicht mehr vernachlässigt werden und die optimale Strategie ist der minimale Auszahlungsbetrag, 50.
Diese beiden Strategien in Abhängigkeit von der Höhe der Strafzahlung treten deutlich in den angeführten Studien hervor.
Das ist eine weitere Eigenschaft des fiktiven "rationalen Nutzenmaximierers", den sich die klassische Spieltheorie vorstellt: Denken kostet ihn nichts. Manche Marktmodelle beziehen zwar Kosten der Informationsbeschaffung ein; aber die Kosten der Informationsverarbeitung werden in der Regel nicht berücksichtigt.
Die nächste schwierige Frage folgt gleich auf dem Fuße: Wenn ich „Rundungsfehler“ akzeptiere und eine Strafgebühr von 2 gleich null setze, damit es einfacher zu denken ist, wo ist dann die Bagatellgrenze? Wovon hängt es ab, ob ich so eine nervige Gebühr ignoriere oder für voll nehme?
Zur Antwort auf "einfache statistische Lösung?"
03.08.2007, Wolfgang Illig, RuppertsgrünKlar ist auch, dass ich nicht 100 mal nach China fliegen kann, um dann mit 100 zerschlagenen Mingvasen das Spiel zu testen. Auch haben Sie (Christoph Pöppe) Recht, dass ich die Gleichverteilung nicht begründen kann, höchstens mit einer Anleihe bei der statistischen Physik, die das Prinzip maximaler Unbestimmtheit, bei dem die Gleichverteilung zu maximaler Entropie führt, erfolgreich anwendet. Vielleicht ist dies aber auch nicht zu weit hergeholt, denn in Ihrem Artikel "Die Quadratwurzel, das Irrationale und der Tod" betrachtet ja ein statistischer Physiker die Wähler auch als "Spingas".
einfache statistische Lösung?
03.08.2007, Wolfgang Illig, RuppertsgrünZiel: Ich möchte nicht mehr Gewinn als mein Mitspieler (klassische Spieltheorie), sondern meinen Gewinn maximieren, gleich was mein Mitspieler gewinnt.
Annahme: Ich kenne nicht die Strategie meines Mitspielers und nehme an, dass jede Wahl (von 2 bis 100) gleichwahrscheinlich ist. Weiter setze ich voraus, dass der minimale Strategiewert (hier 2) immer gleich der Höhe der Belohnung/Bestrafung ist.
Dann berechne ich für jede meiner Strategien x den Erwartungswert aus den Werten der entsprechenden Spalte der Auszahlungsmatrix. (Dies tut auch mein Mitspieler mit den entsprechenden Zeilen). Das reduziert die Auszahlungsmatrix auf zwei (wegen der Symmetrie des Problems) gleiche Auszahlungsvektoren, deren Werte durch folgende Auszahlungsfunktion berechenbar sind:
A(x) = 1/(M-m+1) [-x²/2 + (M-2m+1/2)x + (M+m/2+1/2)m].
M bezeichne den Wert der maximalen Strategie (100) und m den der minimalen Strategie (2), der nach Voraussetzung gleich dem Wert der Belohnung/Bestrafung ist, x sei meine Strategie und A(x) der zu erwartende Auszahlungswert bei gewählter Strategie x.
Diese Funktion hat genau ein Maximum bei max=M-2m+1/2, was die zweite Ableitung (bei stetig gedachtem x) bestätigt. Dass im konkreten Fall zwei benachbarte Maxima existieren, ist der Ganzzahligkeit der Aufgabenstellung geschuldet.
„Bläst“ man die beiden Auszahlungsvektoren zu einer entsprechenden Auszahlungsmatrix auf, so ist das Paar (M-2m+1/2 ; M-2m+1/2) ein Nash-Gleichgewicht. Wächst m, so wandert das Gleichgewicht nach „links oben“ und wird für m=M/3 gleich dem „klassischen“ spieltheoretischen Nash-Gleichgewicht.
Diese einfache Betrachtung löst – nach meiner Ansicht – die im Artikel genannten Probleme. Die Menschen handeln vernünftig oder rational, wenn sie wegen ihrer Unkenntnis einfach schätzen. Und die Menschen schätzen gut, wie die Versuche zeigen, selbst Spieltheoretiker.
Bei Unkenntnis der Situation schließen Statistiker gerne auf Gleichverteilung – ein legitimes Verfahren, das in diesem Fall allerdings nur schwer zu rechtfertigen ist: Ich weiß ja, dass mein Partner ebenfalls gierig ist und daher höhere Werte bevorzugen müsste.
Bemerkenswerterweise scheint es auf die Gleichverteilungsannahme nicht besonders anzukommen: In seinem (zweiten) Leserbrief kommt Martin Rupp mit einem deutlich anderen Verfahren zum selben Ergebnis: 96 oder 97.
Christoph Pöppe, Redaktion
Preisrätsel!
03.08.2007, Doppler Stefan, Schlierbach/ÖsterreichFür mich als mathematisch ungebildeten Hobbyprogrammierer waren die meisten der Rätsel mit einer idealen Mischung aus Nachdenken und Computerpower lösbar. Nicht selten habe ich am Kiosk zuerst zum Preisrätsel geschaut und mich danach zum Kauf entschieden (das müsste doch wirken).
Von der Dramaturgie ist ein Preisrätsel – auch wenn es keine Millionen-Euro-Frage gibt – doch etwas ganz anderes als eine Denksportaufgabe mit gleich zugänglicher Lösung.
Und außerdem – wenn die Beteiligung wirklich so niedrig war, warum habe ich dann nie gewonnen?
Rückwärtsinduktion kann zu Fehlschlüssen führen
01.08.2007, Torsten Schöning, Jena"Einem Gefangenen wird mitgeteilt, er werde nächste Woche hingerichtet. Allerdings werde der Termin für ihn eine Überraschung sein. Nun überlegt er sich: Wenn ich am Samstag abend noch lebe, muss ich am Sonntag hingerichtet werden, was aber keine Überraschung wäre. Also fällt der Sonntag als Hinrichtungsdatum weg.
Dann weiß ich aber am Freitag abend, wenn ich noch lebe, dass ich am Samstag hingerichtet werde - ebenfalls keine Überraschung usw., ich kann also überhaupt nicht hingerichtet werden!
Am Mittwoch taucht, unerwartet, der Henker zur Hinrichtung auf."
(http://de.wikipedia.org/wiki/Paradoxon_der_unerwarteten_Hinrichtung)
Diese Paradoxie zeigt, dass Rückwärtsinduktion zu Fehlschlüssen führen kann.
Geht man nicht von einem "rückwärts induzierenden" Mitspieler aus, sondern postuliert, dass er unvorhersagbar / zufällig handelt, so erhält man bei den im Artikel verwendeten Bedingungen (Einsätze 2 bis 100 Euro, 2 Euro Strafe) folgende Ergebnisse: Am günstigen sind Einsätze von 97 oder 96 Euro, mit denen man im Durchschnitt 49,08 € als Ergebnis erzielen kann; bei Einsätzen von 93 bis 100 Euro erreicht man noch über
49 €; für kleinere Einsätze nimmt das Ergebnis kontinuierlich ab, so dass man bei 2 Euro Einsatz durchschnittlich nur 3,98 € bekommt.
Mit höheren Strafen verschiebt sich das Maximum zu immer niedrigeren Einsätzen.
Man kann auch eine Formel für das Ergebnis herleiten: Mein Einsatz sei n, die Strafe sei s. Dann bekomme ich in (100–n) Fällen, also immer wenn mein Mitspieler mehr bietet, n+s € ausgezahlt. In einem Fall (der Mitspieler bietet genauso viel) bekomme ich n €. In den verbleibenden (n–2) Fällen bekomme ich immer den Einsatz k des Mitspielers abzüglich 2 Euro ausgezahlt. Summation über k (arithmetische Reihe) ergibt für diese Fälle (n–2)/2*(n–1–s).
Gemittelt über alle 99 möglichen Einsätze des Mitspielers erhält man also das Ergebnis Es(n) = 1/99 * [ (100–n)*(n+s) + 1*n + (n–2)/2*(n–1–s)].
Diese Überlegungen führen für mich zu zwei Resultaten: Hohe Einsätze können doch logisch sein. Und wenn die Vasen wirklich nur 5 Euro gekostet haben, bringen hohe Strafen eher die Wahrheit ans Licht.
Rückwärtsinduktion ist und bleibt, wie die gewöhnliche Induktion, ein zulässiges Schlussmittel der Mathematik. Wenn ein Kettenglied unter allen Umständen wahr ist, hält die ganze Kette, und wenn sie aus noch so vielen Gliedern besteht.
Offensichtlich sind die Glieder der hier zur Debatte stehenden Kette zwar stark, aber nicht so unfehlbar stark, dass eine lange Kette nicht schwach sein, das heißt Unsinn produzieren, könnte.
Christoph Pöppe, Redaktion
Irrationale Spieltheoretiker
31.07.2007, Berthold Hövel, OverathHier meine spontanen und laut Autor wohl irrationalen Gedankengänge:
1. Ich gehe von der Prämisse aus, dass der Mitspieler genauso rational und an Gewinnmaximierung interessiert ist wie ich und daher denselben Gedankengängen folgen wird und sich genauso entscheiden wird wie ich.
2. Der unter dieser Prämisse maximale Gewinn ist 100 Euro, wenn beide 100 Euro angeben. Alles andere endet in ergebnislosen Endlos-Schleifen.
Oder in der Langform:
1. Prämisse wie oben
2. Der höchstmögliche Gewinn ist 101 Euro, den man aber nur dann erreicht, wenn der eine 100 und der andere 99 wählt.
3. 98 oder weniger zu wählen ist völliger Unsinn, da damit höchstens 100 Euro Gewinn erreicht werden könnten. Das Maximum von 101 ist also unerreichbar geworden. Das Ganze birgt aber das Risiko, dass der Mitspieler sich gleich mir verhält und man so beliebig weit vom Maximum entfernt landen kann, indem man sich gegenseitig unterbietet.
4. Es ergibt sich also eine Endlosschleife zwischen 99 und 100.
1. Fall: 99 / 100 Ergebnis: 101/98
2. Fall: 99 / 99 Ergebnis: 99/99
3. Fall: 100 / 100 Ergebnis: 100/100
4. Fall: 100 / 99 Ergebnis: 98/101
Wählt der erste Spieler 99, dann hat er also einen durchschnittlichen Gewinn von 100. Wählt er 100 hat er einen durchschnittlichen Gewinn von 99. Daher wäre 99 die optimale Wahl.
5. Zu diesem Schluss muss der Mitspieler aber auch kommen. Und er erkennt, dass er jetzt nur noch die Möglichkeit hat, 98 Euro anzugeben, um mehr herauszuschlagen. Und schon hängen er und sein Mitspieler in der im Artikel beschriebenen Abwärtsspirale, die einen aber vom Ziel des maximalen Gewinns immer weiter weg führt und daher völlig unzweckmäßig ist. Das erkennt jeder (es sei denn, er ist Spieltheoretiker).
6. Man erkennt daraus, dass sich alle Beteiligten stillschweigend kollegial verhalten müssen, um wenigstens die 100 Euro einzustreichen. Dies geschieht ohne eigenen Nachteil, da auch vorher der durchschnittliche Gewinn bei lediglich 100 Euro lag, wenn man 99 Euro angegeben hat (Punkt 4). Auch wenn man wie in Punkt 5 beschrieben 98 Euro angeben würde, hätte man keinen Vorteil gegenüber der 100 Euro-Angabe.
7. Daher ist die optimale Antwort die Angabe von 100 Euro. (Und wenn sie es nicht ist, dann ist der Fehler der kleinst mögliche.)
(8. Wenn das aber so ist, dann kommt man mit der Angabe von 99 Euro doch noch etwas weiter ... aber ist dann auch noch der mögliche Fehler minimal?)
Bestärkend kommt noch eine Faustregel oder Strategie hinzu:
Wenn der Mitspieler weniger angeben sollte als ich, dann setzt er das Limit, nicht ich. Hätte ich noch weniger als er angegeben, dann wäre es sehr wahrscheinlich, dass ich dann am Ende immer noch schlechter dagestanden hätte, als wenn ich sein Limit nicht unterboten hätte.
Auch hier gilt: Verfolgen beide diese Strategie, werden beide wieder bei 100 Euro landen.
Insgesamt erkenne ich, wie anscheinend über 55% aller Menschen, nicht, wo da ein Dilemma sein soll. Als irrational kann ich so ein Verhalten auch nicht bezeichnen, wie ich hoffentlich weiter oben klarmachen konnte.
Es ist bezeichnend für die "Rationalität" von Spieltheoretikern, wenn sie selbst nicht mal in der Lage sind, das optimale Verhalten zu erkennen, selbst wenn sie es nicht mathematisch formulieren können. Jedenfalls sind die im Artikel genannten Hyphothesen über die "irrationalen" Entscheidungsursachen dermaßen abstrus bis arrogant, während sie ihre 2 Euro-Theorie als einzige rational nachvollziehbare Lösung ansehen, dass die Spieltheorie und ihre Vertreter in meinen Augen massiv an Ansehen und Glaubwürdigkeit verloren haben.
Vorsicht beim Gebrauch des Wortes "rational"!
Die Spieltheoretiker (und die Ökonomen) haben zuerst ein Modell eines sich vernünftig verhaltenden Menschen aufgestellt. Dieses Verhalten nannten sie "rational" und präzisierten ihr Modell, indem sie ihrem gedachten Menschen eine Reihe von Eigenschaften zuschrieben: nur am eigenen Nutzen interessiert, "gefühllos", insbesondere weder altruistisch (am Wohlergehen von seinesgleichen interessiert) noch missgünstig, und fähig, alle Handlungsmöglichkeiten bis ins Letzte durchzudenken. Nicht nur das: Bei diesem Durchdenken folgt er unweigerlich – durch seine Eigenschaften diktiert – einem gewissen Denkschema. Diesen Modellmenschen nannten sie weiterhin "rational".
Jetzt kommt Herr Basu und zeigt, dass die so definierten Modellmenschen sich in einer speziellen Situation, nämlich dem Urlauberdilemma, sehr unvernünftig verhalten. Also sind auf einmal "rational" im Sinne der Umgangssprache, "rational" im Sinne der Interessen des Modellmenschen und "rational" im Sinne seiner Handlungen drei verschiedene Dinge, die sämtlich mit demselben Wort bezeichnet werden.
Natürlich ist es reizvoll, mit dieser Mehrdeutigkeit zu spielen; das tut Basu auch mehrfach in seinem Artikel. Daraus zu schließen, die Spieltheoretiker seien unfähig, die verschiedenen Arten von Rationalität zu unterscheiden, halte ich für etwas voreilig.
Christoph Pöppe, Redaktion
falsche Zielfunktion?
31.07.2007, P. SpeckmayerDie eigentliche Fragestellung ist doch aber die Maximierung des Gewinnes. Die Funktion die maximiert werden soll lautet eigentlich:
GewinnA = minimum( a, b ) + w
wobei a und b die von Spieler A bzw. B gewählten Werte sind und w eine kleine Störung (von der Größenordnung 1 Euro) ist. (Die Funktion "minimum" nimmt den Wert der kleineren der beiden Größen a und b an. )
Nachdem Spieler A nur den Wert a optimieren kann, wird er offensichtlich den höchstmöglichen (=100) wählen. Erst in einem zweiten Schritt wird er sich über den Einfluss der kleinen Störung w Gedanken machen.
Für mich ganz und gar nicht überraschend schaut die Sachlage dann natürlich vollkommen anders aus, wenn w keine kleine Störung mehr ist, sondern in der Größenordnung von a und b liegt.
Wir können nun die beiden Extrema von w betrachten. Das eine Extrem ist w=0; hier werden beide Spieler offensichtlich den höchstmöglichen Wert 100 wählen. Wenn andererseits der Spieler mit dem kleineren Wert alles bekommt, werden, vermute ich, beide Spieler Richtung Nash-Gleichgewicht a=b=2 tendieren.
Im Gegensatz zum Autor des Artikels würde ich die Entscheidungen "der Leute" in dieser Art von Spiel sehr wohl als rational einstufen.
Zur Antwort auf meinen Leserbrief Klassischer Denkfehler
31.07.2007, M. Rupp, KarlsruheEs ist gerade die im Originalartikal angewandte Methode der Schlussfolgerung, die ausschließlich auf dem Prinzip der "kleinen Schritte" aufbaut: 99 - der andere auf 98 - ich auf 97 usw. bis zur 2. Eine einseitige "radikale Änderung" nach unten führt immer zu einer geringeren Auszahlung; von einem vollen Überblick über die Zielfunktion kann also nicht die Rede sein.
Dabei stellt sich die Frage: Was ist überhaupt die Zielfunktion?
Die Zielfunktion ist der Gewinn. Diese soll optimiert werden. Das geschieht nicht in erster Linie durch Unterbieten des Mitspielers! Sind Bonus und Malus klein, so ist es egal, wer die höhere und wer die niedrigere Zahl nennt, solange beide eine hohe Zahl nennen.
Und der von Ihnen angesprochene Grundsatz der Spieletheorie könnte als Argument FÜR meinen Ansatz gesehen werden: Mein Mitspieler denkt genau wie ich. Wenn ich eine hohe Zahl nenne, wird er das auch tun!
Da aber keiner genau weiß, was der andere antworten wird, müssen beide Vermutungen darüber anstellen, welche Zahl der andere wahrscheinlich nennen wird.
Wenn beide nach dem Grundsatz der Spieltheorie handeln und das gleiche tun, folgt daraus ein Algorithmus, den ich hiermit zur Ermittlung der optimalen Strategie vorschlage:
1. Nimm für jede Zahl x eine (beliebige) Wahrscheinlichkeit p(x) an, mit der der Mitspieler diese Zahl wählen wird. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für alle x soll 1 sein.
2. Ermittle mit dieser Verteilung für jede Zahl y die mittlere Auszahlung a(y). (Das ist die Auszahlung, die man im Mittel in sehr vielen Spielen bekommen wird, wenn man immer die Zahl y nennt und sich der Partner an die angenommene Verteilung hält.)
Sie berechnet sich wie folgt:
a(y) = p(y)*y + Summe x>y (p(x)*(y+2)) + Summex<y (p(x)*(x–2)),
wobei Summe x>y bedeutet: Summe von x=y+1 bis 100 (allgemein xmax). Entsprechend läuft Summex<y von 2 (allgemein xmin) bis y–1.
3. Erzeuge eine neue Verteilung: p(x) = a(x)/Summe(a)
4. Wiederhole 2. und 3. bis Konvergenz erreicht ist.
Ich habe diesen Algorithmus in einem einfachen Programm implementiert. Er scheint für alle Startverteilungen zu konvergieren.
Das Maximum der Auszahlung und der Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt bei x = 96 und x= 97. Es sei denn, man gibt als Startwert p(2)=1 vor, dann beobachtet man keine Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Dieser Algorithmus gibt auch die beobachteten Ergebnisse qualitativ wieder: Ist der Bonus/Malus groß, so liegt das Maximum bei der kleinstmöglichen Zahl.
Wesentlich interessanter ist aber folgende Feststellung:
Es gibt nicht „die“ optimale Zahl (für jede Zahl gibt es eine bessere). Aber es gibt für jede Zahl eine optimale Wahrscheinlichkeit, diese zu wählen, sodass man (und der Mitspieler, der durch die gleiche Überlegung auf dieselbe Verteilung kommt) den Gewinn insgesamt optimiert.
Ich bleibe dabei, dass im Rahmen der klassischen Spieltheorie große Sprünge möglich und sinnvoll sind. Ich sage zunächst 97; dann kommt mir wer weiß woher die Erkenntnis, dass mein Partner 6 sagen will. Daraufhin wechsle ich natürlich auf der Stelle zu 5 (und verbessere meine Auszahlung gewaltig: von 4 auf 7).
Der von Ihnen vorgeschlagene Algorithmus dürfte schwierig zu begründen sein (ich glaube nicht, dass er die erwartete Auszahlung maximiert, bin mir aber unsicher), aber trotzdem eine interessante Idee!
Christoph Pöppe, Redaktion
In den Schlussfolgerungen ziemlich blödsinnig
31.07.2007, Fritz KronbergNimmt man nämlich den Fall, die Vase habe auf dem Trödelmarkt wirklich 5 Euro gekostet, so ist die Auswahl 2 Euro ein sicherer Verlust von 3 Euro mindestens für beide bzw. von einem Euro für einen und 5 Euro für den anderen. Eine solche Entscheidung wäre höchst irrational. Da man nur raten kann, was der andere macht, ist hier die einzige Möglichkeit, mit einiger Sicherheit wenigstens einen Euro Gewinn zu machen, die Auswahl 4 Euro. Geht man aber davon aus, daß der andere genauso denkt, resultiert für beide ein Verlust von einem Euro.
Geht man darüber hinaus von einer gewissen Gier des anderen aus, ist die Auswahl 5 Euro optimal. Das sichert einen bescheidenen Gewinn von 2 Euro und bestraft den Gierigen mit einem ebenso großen Verlust. Auf diese Weise bekommt der Versicherungsvertreter ehrliche Angaben, ist also doch nicht so dumm.
Mangelnde Effizienz
30.07.2007, Tobias Schateikis, Stolberg (Rhld.)Vergessen zu Wedeln?
30.07.2007, Corinna Wolfsteller, Frankfurt (Oder)Meiner Meinung und meinen Beobachtungen nach nicht. Die Ursache sehe ich darin, dass sich der Hund auf sein Gegenüber konzentriert. Da die Katze "eigentlich" in das Beuteschema von Bello & Co gehört, ist der Hund angespannt. Somit resultiert die Aufregung aus einer konzentrierten Anspannung heraus.
Damit möchte ich den Hund allerdings nicht als Raubtier bezeichnen. Mit "eigentlich" beziehe ich mich auf die historische Abstammung vom Wolf . Der Zusammenhang von "Katze" und "Beute" ist noch rudimentär vorhanden und spielt die entscheidente Rolle zur Aufklärung des "fehlenden" Schwanzwedelns.
Der Hund fixiert die Katze, beobachtet sie und wägt ihre Reaktion ab. Dazu hält er seinen Körper angespannt. Deshalb wedelt er kaum oder gar nicht mit dem Schwanz. Als Haustier aufgewachsen, greift der Hund jedoch die Katze nicht an.
Klassischer Denkfehler
29.07.2007, M. Rupp, KarlsruheEs gibt nur einen einzigen Fall, in dem ich mein Ergebnis verbessere, indem ich eine niedrigere Zahl nenne. Nämlich dann, wenn mein Gegenüber um 1 höher liegt als ich oder ich genau um 1 höher liege als er. Liegt er weiter über meiner Zahl, könnte ich meinen Gewinn steigern, indem ich höhere Zahlen nenne. Liegt er darunter, ist es egal, in welche Richtung ich abweiche, das Resultat wird in fast jedem Fall dasselbe sein.
Darin besteht auch der große Unterschied zum Gefangenendilemma: Hier kann ich nur 1 darüber oder darunter liegen, was die Dramatik wesentlich erhöht.
Da ich aber nicht weiß, was mein Gegenüber antworten wird, kann ich daraus auch nicht ableiten, welche Zahl ich nennen soll.
Andererseits will ich meinen Gewinn maximieren. Dazu ist die 2 eine der schlechtest möglichen Antworten.
Wenn ich viel Geld bekommen will, muss ich eine möglichst hohe Zahl nennen! Und mein Gegenüber denkt ähnlich!
Es stellt sich ein wenig anders dar, wenn der Vertrauensbonus und die Strafe groß sind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit einer niedrigen genannnten Zahl einen hohen Gewinn zu erzielen (und entsprechend die Wahrscheinlichkeit, trotz hoher Zahl wenig oder nichts zu bekommen), sehr viel größer. Es lohnt sich in diesem Fall wesentlich mehr, die niedrigere Zahl zu haben.
Herr Rupp bringt, ohne es explizit zu machen, einen neuen Gedanken in die Diskussion ein: Anstelle beliebiger Änderungen der eigenen Strategie denke man nur über kleine Änderungen nach.
Vom Standpunkt der klassischen Analysis ist das eine nahe liegende Idee. Ich suche das Maximum einer Zielfunktion f(x), nämlich meiner Auszahlung, die von einer Variablen x abhängt, über die ich bestimmen kann, nämlich meiner eigenen Ansage. Das Nachdenken darüber, dass sie noch von einer anderen Variablen abhängt, über die ich nicht bestimmen kann, nämlich der Ansage meines Partners, verschiebe ich auf später. Ich beschränke mich darauf, über kleine Änderungen nachzudenken, weil ich meine Zielfunktion nur in der unmittelbaren Umgebung meines gegenwärtigen Standpunkts einigermaßen überschauen kann.
Wie finde ich das Maximum meiner Zielfunktion? Ein mögliches Verfahren ist das, was in anderem Zusammenhang als "Gradientenverfahren" geläufig ist. Ich habe eine vorläufige Vorstellung x von meiner Ansage und variiere x ein wenig (das heißt um genau einen Euro) in einer Richtung, in der f(x) ansteigt. Das wiederhole ich so lange, bis f(x) sich nicht mehr zum Besseren ändert. In unserem Fall läuft das darauf hinaus, x zu erhöhen, wenn mein Partner mit seiner Ansage deutlich höher liegt als ich, nichts zu tun, wenn er deutlich niedriger liegt, und nur in den beiden („Ausnahme“-)Fällen „der Partner liegt gleichauf“ und „der Partner liegt eins unter mir“ x zu erniedrigen. So gesehen scheint es einleuchtend, x zu erhöhen.
Diese Analyse verkennt zweierlei. Erstens ist die Beschränkung auf kleine Änderungen von der Sache her nicht geboten: Wir haben den vollen Überblick über unsere Zielfunktion und sind fähig, in einem einzigen Denkschritt unsere Ansage radikal zu ändern. Zweitens missachtet sie den klassischen Grundsatz der Spieltheorie: Mein Partner denkt genau wie ich (genauso rational oder eben genauso irrational). Also ist der Fall, dass er auf die gleiche oder eine sehr ähnliche Zahl kommt wie ich, nicht die Ausnahme, sondern die Regel.
Aber denken wir vielleicht (auch wenn unser Denken nicht von der klassischen Optimierung beeinflusst ist) von Natur aus eher in kleinen Schritten? Das ist eine interessante Frage.
Christoph Pöppe, Redaktion
Der Charme des alten Europas
29.07.2007, Dr. Armin Tippe, SchwabhausenNichts gegen Havard University, aber wir sollten doch die großen Forschergestalten aus "Old-Europe" nicht verleugnen.
Enttäuschung
29.07.2007, Dr. Tobias Braun, HannoverEin Experiment zur Veranschaulichung von Effekten der Quantenphysik welches gleichermaßen, und vor allem verständlicher, durch die Wellentheorie erklärt werden kann, dient in meinen Augen weder dem Verständnis Quantenphysik, noch hebt es die Abgrenzung der Quantenphysik von der klassischen Physik hervor.
Unter solchen Umständen wirken die gegebenen Erklärungen zu den einzelnen Teilexperimenten wie phantastisches Geschwätz.
Aus meiner Sicht wäre es deutlich besser, wenn auch bei einem Anschauungsexperiment der Maßstab der Wissenschaftlichkeit angelegt werden würde. Die Abgrenzung der Quantenphysik zur klassischen Physik sollte eindeutig zu Tage treten. Hier liegt meines Erachtens die größte Bedeutung eines Anschauungsexperiments zum Verständnis von Quanteneffekten.