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Räumliche Geometrie: Johnsons Polyeder

Sphenocorona<br>schiefes vierseitiges Antiprisma<br>Hebesphenomegacorona<br>BilunabirotundaLaden...

Ein Baukasten für Polyeder

In dieser und den nächsten beiden Folgen will ich Ihnen von dem Ruhme dreier großer Polyedermeister künden. Bemerkenswert an ihren Werken ist nicht unbedingt der einzelne geniale Wurf (obgleich es durchaus bemerkenswerte Einzelentdeckungen zu vermelden gibt), sondern die schier unglaubliche Geduld der Autoren. Alle drei haben die Erforschung von Polyederklassen betrieben, die durch ihre Größe bereits Ehrfurcht erregen.
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Oktaeder mit Bauchbinde | Man kann das Oktaeder (im Bild), das Ikosaeder, das Kuboktaeder, das Ikosidodekaeder, das Rhomben-Kuboktaeder und das Rhomben-Ikosidodekaeder entlang einer Ebene zerschneiden, die das jeweilige Polyeder nur in Kanten trifft. Die Schnittfläche ist wieder ein regelmäßiges Vieleck.

Genauer gesagt: Es geht in allen drei Fällen um Polyeder, die von regelmäßigen Vielecken begrenzt sind. Also kommt in jedem dieser Polyeder nur eine einzige Kantenlänge vor. Von einigen Spezialfällen – den Prismen und Antiprismen – abgesehen, ist die Seitenzahl dieser Vielecke begrenzt, außerdem ist die Bedingung "nur regelmäßige Vielecke als Grenzflächen" ziemlich restriktiv. Entsprechend gibt es nur endlich viele Polyeder in der jeweiligen Klasse. Aber sie sind doch sehr individuell; viele allgemeine Aussagen über sie gibt es nicht, sondern so ziemlich jedes von ihnen will einzeln angeschaut und möglicherweise auch konstruiert werden, und das dauert. Ich gestehe, ich kann mir kaum eine Situation vorstellen, in der ich bereit wäre, eine solche Klassifikationsaufgabe anzugehen. Freiheitsstrafe nicht unter einem Jahr? Aber ob Schere und Messer in der Zelle zugelassen sind?

Genug der Vorrede. Freuen wir uns, dass die großen Meister ihre Werke übersichtlich niedergeschrieben haben, ergehen wir uns in stiller Bewunderung und begnügen uns damit, diese oder jene Rosine aus dem großen Kuchen zu picken.

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Ikosaeder mit Bauchbinde | Man kann das Oktaeder, das Ikosaeder (im Bild), das Kuboktaeder, das Ikosidodekaeder, das Rhomben-Kuboktaeder und das Rhomben-Ikosidodekaeder entlang einer Ebene zerschneiden, die das jeweilige Polyeder nur in Kanten trifft. Die Schnittfläche ist wieder ein regelmäßiges Vieleck.

Der erste meiner Helden heißt Norman W. Johnson; als er 1964 seine Zusammenstellung konvexer Polyeder mit regulären Flächen aufschrieb, arbeitete er an der Michigan State University. Seine Polyeder – die inzwischen unter dem Namen "Johnson solids" bekannt und im Internet mehrfach präsent sind – dürfen also mehrerlei Sorten Seitenflächen haben, solange sie nur sämtlich regelmäßige Vielecke sind. Also archimedische Körper? Noch allgemeiner. Platonische und archimedische Körper sind Spezialfälle der "Johnson solids". Der wesentliche Unterschied ist, dass bei Johnsons Polyedern die Ecken nicht mehr alle gleich sein müssen. Die konvexen Körper aus lauter gleichseitigen Dreiecken, die ich in Folge 6 beschrieben habe, sind die ersten Exemplare nicht-trivialer Johnson-Polyeder.

Ein Rezept, das sehr viele Polyeder mit regulären Flächen liefert – darunter etliche der genannten Dreieckskörper –, heißt bei Johnson "cut and paste": Zerschneiden und Zusammenkleben. Zum Zerschneiden eignen sich etliche Körper, die ihrerseits ziemlich regelmäßig sind: platonisch oder wenigstens archimedisch, und darüber hinaus noch über durchgehende "Bauchbinden" verfügen, das heißt Folgen von Kanten, die sämtlich in einer Ebene liegen (und nicht alle dieselbe Fläche beranden, denn dass die in einer Ebene liegen, ist nicht bemerkenswert). Es handelt sich um das Oktaeder, das Ikosaeder, das Kuboktaeder, das Ikosidodekaeder, das Rhomben-Kuboktaeder und das Rhomben-Ikosidodekaeder. Sie alle kann man entlang ihrer Bauchbinde zerschneiden, wobei als Schnittflächen allerlei regelmäßige Vielecke vom Quadrat bis zum Zehneck zutage treten (siehe die Kurzfilme auf dieser und der nächsten Seite). Damit sind die beiden Fragmente Johnson-Polyeder, denn sie sind konvex und nur von regelmäßigen Vielecken begrenzt.

Polyeder zusammenkleben

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Kuboktaeder mit Bauchbinde | Man kann das Oktaeder, das Ikosaeder, das Kuboktaeder (im Bild), das Ikosidodekaeder, das Rhomben-Kuboktaeder und das Rhomben-Ikosidodekaeder entlang einer Ebene zerschneiden, die das jeweilige Polyeder nur in Kanten trifft. Die Schnittfläche ist wieder ein regelmäßiges Vieleck.

Das ist aber noch nicht alles. Zusammen mit den "kleineren" (nicht besonders kugelähnlichen) platonischen und archimedischen Körpern sowie den Prismen und Antiprismen bilden die abgeschnittenen Polyeder-Stücke einen umfangreichen Satz an Bauklötzen. Zwei von ihnen kann man überall da zusammensetzen, wo sie gleiche Seitenflächen haben. Ein halbes Oktaeder auf einen Würfel ergibt ein nettes Häuschen mit vierseitigem Dach, das zweifellos konvex ist. Allgemein: Eine drei-, vier-, fünfseitige Pyramide auf ein ebensoviel-seitiges Prisma oder Antiprisma, oder darunter oder beides, gibt ein Johnson-Polyeder. Oder zwei gleiche Pyramiden direkt aufeinander. Oder eine Pyramide auf eine der quadratischen Seiten eines dreiseitigen Prismas.

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Ikosidodekaeder mit Bauchbinde | Man kann das Oktaeder, das Ikosaeder, das Kuboktaeder, das Ikosidodekaeder (im Bild), das Rhomben-Kuboktaeder und das Rhomben-Ikosidodekaeder entlang einer Ebene zerschneiden, die das jeweilige Polyeder nur in Kanten trifft. Die Schnittfläche ist wieder ein regelmäßiges Vieleck.

Die abgeschnittenen Deckel der verschiedenen archimedischen Körper haben von Johnson eigene Namen bekommen: "Kuppel" (coupola) heißt der Körper, bei dem an einem n-Eck (n=3, 4 oder 5) n Quadrate hängen, die zwischen sich dreieckige Lücken lassen, mit dem Endeffekt, dass am anderen Ende ein (2n)-Eck liegt. Die fünfseitige "Rotunde" ist ein halbes Ikosidodekaeder und hat ebenfalls eine zehneckige Seitenfläche. Diese Bauklötze passen, wenn die Schnittflächen gleiche Seitenzahlen haben, direkt aufeinander, und zwar entweder gerade (zum Beispiel Quadrat an Quadrat) oder verdreht (zum Beispiel Quadrat an Dreieck); denn die 2n Seiten einer Kuppel oder Rotunde gehören zu zwei verschiedenen Klassen, weil sie abwechselnd an ein Dreieck oder an etwas anderes grenzen. Oder man setzt ein Prisma oder Antiprisma der richtigen Größe dazwischen.

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Rhombenkuboktaeder mit Bauchbinde | Man kann das Oktaeder, das Ikosaeder, das Kuboktaeder, das Ikosidodekaeder, das Rhomben-Kuboktaeder (im Bild) und das Rhomben-Ikosidodekaeder entlang einer Ebene zerschneiden, die das jeweilige Polyeder nur in Kanten trifft. Die Schnittfläche ist wieder ein regelmäßiges Vieleck.

Allerdings muss man jedes Mal nachsehen, ob das zusammengesetzte Gebilde überhaupt noch konvex ist. An dieser Bedingung scheitert die Idee, mehrere Antiprismen aufeinander zu stapeln oder einen Würfel allseits mit Pyramiden zu bedecken. Auch der Grenzfall von konvex, dass nämlich zwei benachbarte Flächen in eine Ebene zu liegen kommen, ist verboten. Sonst könnte man Prismen aufeinanderstapeln oder Tetraeder auf Oktaeder kleben (vergleiche Folge 1).

Johnson hat seinen Polyedern Namen gegeben, die so lang, zusammengesetzt und lateinisch-griechisch sind, dass sie jedem deutschen Chemiker des 19. Jahrhunderts Ehre gemacht hätten. Aber wie die Namen der chemischen Substanzen sollen auch diese Namen über die Zusammensetzung ihres Trägers Auskunft geben. Eine "elongated pentagonal orthobicoupola" ist – na klar doch: eine doppelte (bi-)fünfseitige (pentagonal) Kuppel (coupola), die beiden Kuppeln gerade (ortho) aufeinander gesetzt und ein zehnseitiges Prisma dazwischen geschoben (elongated). Mit einem Antiprisma anstelle eines Prismas würde das Ding "gyroelongated" heißen. Ist eigentlich alles ganz logisch.

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Rhomben-Ikosi-Dodekaeder mit Bauchbinde | Man kann das Oktaeder, das Ikosaeder, das Kuboktaeder, das Ikosidodekaeder, das Rhomben-Kuboktaeder und das Rhomben-Ikosidodekaeder (im Bild) entlang einer Ebene zerschneiden, die das jeweilige Polyeder nur in Kanten trifft. Die Schnittfläche ist wieder ein regelmäßiges Vieleck.

Manche Namen kann man sich nur durch Auswendiglernen merken. Johnson erklärt uns nicht, warum er zwei dreiseitige Prismen, Quadrat an Quadrat geklebt, ein "gyrobifastigium" nennt. Aber er hat sich bestimmt etwas dabei gedacht. Manche Polyeder haben sogar mehr als eine Bauchbinde, entlang der man sie zerkleinern kann, und zwar so, dass die Schnittebenen nicht miteinander in Konflikt geraten. So kann man von Ikosaeder nicht nur eine fünfseitige Pyramide abschneiden, sondern bis zu drei.

Johnsons Exoten

Neben diesen noch einigermaßen geregelten Polyedern gibt es noch eine ganze Reihe von Körpern, die man nicht durch Zusammensetzen oder Abschneiden gewinnen kann. Wie es Johnsons Fantasie gelungen ist, sie alle zu finden, bleibt weitgehend sein Geheimnis. Dieses oder jenes kann ich noch nachvollziehen. Es gibt ja den schiefen Würfel (snub cube, vergleiche Folge 10): Ein Quadrat, vier Dreiecke daran, das Ganze sechsmal, und die Spitzen der Dreiecke greifen in die Lücken zwischen Dreiecken des anderen Teils. An jeder Quadratecke liegen drei Dreiecke an.

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Fünfseitige Kuppel und fünfseitige Rotunde | Diese Körper haben beide ein Zehneck als Boden und ein Fünfeck als Deckel.

Nehmen wir vier Dreiecke statt drei, dann ist die Winkelsumme (4 · 60 + 90 = 330 Grad) immer noch unter 360 Grad, es gibt also eine unverkrumpelte Ecke. Auf diese Weise hat ein Quadrat zwölf Dreiecke um sich, mit einer leicht gewellten Randlinie. Man setze zwei dieser Gebilde gegeneinander, Wellenberg des einen in Wellental des anderen, und hat den Körper, den Johnson "schiefes quadratisches Antiprisma" (snub square antiprism) nennt. In den Ecken ohne Quadrate stoßen jeweils fünf Dreiecke aneinander.

Mit den Plastik-Spielzeugflächen merkt man es sofort: Fünf Dreiecke um einen Punkt lassen noch erheblich Wackelfreiheit. So kann es passieren, dass zwölf Dreiecke, die gerade dabei waren, sich mit acht weiteren zum Ikosaeder zusammenzutun, statt dessen genau zwei Quadraten ein bequemes Ruhekissen bieten. Das ist die "Sphenocorona". Und die ist mit ein paar Dreiecken zur "Hebesphenomegacorona" ausbaubar, wenn man sich damit zufriedengibt, dass sich um manchen Eckpunkt nur vier statt fünf Dreiecke scharen.

Sphenocorona<br>schiefes vierseitiges Antiprisma<br>Hebesphenomegacorona<br>BilunabirotundaLaden...
Johnson-Polyeder | Diese Johnson-Polyeder sind keine Zusammensetzungen aus elementareren Bausteinen. Von oben nach unten jeweils aus zwei Perspektiven fotografiert: Sphenocorona, schiefes vierseitiges Antiprisma („snub square antiprism“), Hebesphenomegacorona und Bilunabirotunda

Aber wie Johnson auf so ein merkwürdiges Ding wie die "Bilunabirotunda" mit vier Fünfecken, zwei Quadraten und acht Dreiecken gekommen ist? Ich kann es mir nicht vorstellen.

Ausgerechnet die Bilunabirotunda ist mittlerweile zu großen Ehren gekommen: Sie ermöglicht es unendlichen vielen Exemplaren des Würfels und des Dodekaeders, in einer räumlich periodischen Anordnung zu koexistieren. Das ist schon deswegen bemerkenswert, weil diese beiden Körper verfeindeten Familien angehören und schon deswegen nicht zusammenpassen wollen. Aber die Bilunabirotunden werfen sich vermittelnd dazwischen, berühren mit ihren fünfeckigen Seiten die Dodekaeder, mit den quadratischen die Würfel, und mit den dreieckigen? Ihresgleichen. Norbert Treitz hat das in den "Spektrum"-Artikeln "Wundergarten der Polyeder" und "Verstecke der Bilunabirotunda" ausführlich beschrieben.

Insgesamt hat Johnson eine stolze Liste von 92 Stück zusammengestellt, die platonischen und archimedischen Körper sowie die unendlich vielen Prismen und Antiprismen nicht mitgerechnet. Aber hat er damit alle Möglichkeiten ausgeschöpft? Das wirkt fast so, als wollte man einen Zoologen fragen, ob er auch bestimmt keine Mückenart im Urwald übersehen hat. Aber ganz so schlimm ist es nicht. Johnson konnte nur vermuten, dass seine Liste vollständig war. Aber kurze Zeit später hat ein Russe namens Zalgaller dafür den Beweis erbracht.

Kommentare und Anregungen sind wie immer stets willkommen!

Herzlich Ihr

Christoph Pöppe
Redakteur bei Spektrum der Wissenschaft

Literaturhinweis:
Norman W. Johnson: Convex Polyhedra with Regular Faces. Canadian Journal of Mathematics 18 (1966), 169-200.

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