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Spektrum Highlights 2/2013: Das Unendliche

Es ist faszinierend und unheimlich zugleich: Unser Vorstellungsvermögen versagt regelmäßig vor dem Unendlichen, aber die Mathematik hilft uns damit umzugehen wie mit einem alltäglichen Gegenstand.
Spektrum der Wissenschaft

Eine Welt voller Merkwürdigkeiten tut sich auf: Manche Mengen sind noch unendlicher als andere, gewohnte Rechenregeln treten außer Kraft, Widersprüche tun sich auf – und werden mit der Fortentwicklung der Mathematik aufgelöst.

In der Natur kommt es nicht vor – warum quälen sich die Wissenschaftler mit solch einem widerspenstigen abstrakten Konzept? Die überraschende Antwort: Weil es einfacher ist, mit dem Unendlichen zu arbeiten als ohne.

Inhaltsverzeichnis

Die Wissenschaft vom Unendlichen
Den entscheidenden Unterschied zwischen "beliebig viele" und "unendlich viele" zu klären, hat die Mathematiker über die Jahrhunderte viel Mühe gekostet. Aber sie wollen das Unendliche nicht missen, denn ohne diesen Begriff wäre die Mathematik viel schwieriger.

Ist das Unendliche in der Mathematik paradox?
Was uns die moderne Mathematik über das Unendliche lehrt, ist gewöhnungsbedürftig – aber frei von inneren Widersprüchen.

Von der Perspektive zur geometrischen Unendlichkeit
Im 17. Jahrhundert verlieh die projektve Geometrie dem Unendlichen fast eine wahrnehmbare Realität.

Das Unendliche in der Geometrie
Bei einem köstlichen Diner präsentiert ein Geometer seinen skeptischen Kollegen aus Algebra und Analysis einige Leckerbissen seines Fachs.

Das Cantorsche Diskontinuum
Über Glanz und Elend unendlich abgestaubter Kupferstäbe.

Geschichte des Symbols
Die liegende Acht ist nicht Bestandteil einer Geheimsprache, sondern dient der größeren Klarheit.

Die Bewegungslehre im 17. Jahrhundert
Mit der Infinitesimalrechnung gelang es, Bewegungen und vor allem den Begriff der Geschwindigkeit in befriedigender Weise zu erfassen.

Die Nichtstandard-Analysis
Durch die Einführung unendlich kleiner Zahlen werden – mit zweihundert Jahren Verspätung – die logisch dubiosen, in der Praxis jedoch höchst erfolgreichen Denkweisen der naiven Infinitesimalrechnung gerechtfertigt.

Das Unendliche – Prüfstein des Konstruktivismus
Wer ein mathematisches Objekt nur dann anerkennt, wenn man es konstruieren kann, macht sich das Leben unnötig schwer – sagen die Formalisten.

Das unendlich Kleine in der Physik
Einige moderne Theorien der Teilchenphysik sind deshalb so erfolgreich, weil sie die grundlegenden Bausteine der Materie als punktförmige Massen annehmen.

Das unendliche Große
Das gesamte Universum ist aus einem Zustand entstanden, den es nach unserem Verständnis überhaupt nicht geben kann.

Das Unendliche und die Welt der Algorithmen
Manche Funktionen lassen sich nur mit Verfahren berechnen, die möglicherweise nie fertig werden.

Braucht die Arithmetik das Unendliche?
Ja. Bestimmte Zahlenfolgen wachsen zunächst ins Unermessliche – und enden schließlich doch bei null. Der Beweis gelingt nur mit Hilfe des Unendlichen.

Das Unendliche als Quelle der Erkenntnis
Die Erforschung hyperunendlicher, nicht konstruierbarer Mengen hat zur Entdeckung solider, endlicher mathematischer Objekte verholfen.

ISBN 978-3-943702-41-5, 90 Seiten, € 8,90

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