Sie ist wohl das populärste Objekt der fraktalen Geometrie: die Mandelbrot-Menge. Nachdem Benoît Mandelbrot 1978 die Menge, die heute seinen Namen trägt, ans Licht der Welt geholt hatte, investierten Amateure wie Profis Millionen von Rechenzeitstunden, um das stachlige »Apfelmännchen« mit den unzähligen haarigen Auswüchsen immer noch schöner auf den Bildschirm oder zu Papier zu bringen.

Dabei ist das Gebilde nach den strengeren Definitionen gar kein Fraktal, weil ihm die wesentliche Eigenschaft der Selbstähnlichkeit fehlt. Schaut man sich den Rand der Mandelbrot-Menge unter immer stärkerer Vergrößerung an, so entdeckt man eben nicht immer wieder dieselben Strukturen – das wäre Selbstähnlichkeit –, sondern etwas viel Besseres: immer wieder neue Strukturen. Selbst wenn die Mandelbrot-Euphorie inzwischen etwas abgeklungen ist: Ein Zoom in das Tal der Seepferdchen hat von seiner Faszination nichts verloren.

Auch über mangelnde Zuwendung aus der Fachwelt kann sich diese sehr spezielle Teilmenge der Ebene nicht beklagen. Aber die Mathematiker, die sonst nichts Eiligeres zu tun haben, als jedes Ergebnis von zwei auf drei, vier, ganz viele oder sogar unendlich viele Dimensionen zu verallgemeinern, hatten just in diesem Fall wenig Erfolg. Das liegt nicht daran, dass Fraktale im Allgemeinen auf zwei Dimensionen beschränkt wären. Im Gegenteil, Mandelbrot selbst hat dreidimensionale Fraktale überall in der belebten wie unbelebten Natur – im Brokkoligemüse wie in Küstenlinien – ausfindig gemacht und damit ihre Popularität enorm gefördert. Vielmehr stießen die Freunde der schönen bunten Computerbilder – zumindest damals – auf technische Hindernisse.

Für ein solches Bild überzieht man ein Rechteck in der Ebene mit einem Gitter aus, sagen wir, 1400 mal 1000 Punkten. Für jeden dieser 1,4 Millionen Gitterpunkte bestimmt man mit Hilfe eines Computerprogramms, ob er zur Menge gehört. Wenn das der Fall ist, färbt man das entsprechende Pixel auf dem Bildschirm schwarz, ansonsten weiß oder in einer Farbe, die über den genannten Rechenprozess noch etwas genauere Auskunft gibt. Will man dieses Prinzip auf drei Dimensionen übertragen, so wird aus dem Rechteck ein Quader aus, sagen wir, 1400 mal 1000 mal 1000 Punkten. Von diesen wäre jeder, der zur Menge gehört, schwarz zu färben, und die anderen bleiben am besten durchsichtig. Demnach müsste das Programm nicht 1,4 Millionen, sondern 1,4 Milliarden Mal dieselbe Frage, mit jedes Mal anderen Zahlenwerten, beantworten. Für das Bild einer dreidimensionalen Mandelbrot-Menge hätte man also mit einem PC nicht ein paar Minuten, sondern die tausendfache Rechenzeit aufwenden müssen – zu viel für Amateure, die in erster Linie schöne Bilder sehen wollten.

Da die Rechner inzwischen tausendmal so schnell geworden sind, hat sich das Rechenzeitproblem erledigt. Es bleibt jedoch ein prinzipielles Hindernis. Die schiere Existenz der Mandelbrot-Menge hängt entscheidend an der algebraischen Struktur, die man der Ebene geben kann: den komplexen Zahlen.

Verallgemeinerte Apfelmännchen

Jeder Punkt der Ebene ist eine komplexe Zahl, das heißt, man kann diese Punkte addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren, wie man es von gewöhnlichen (reellen) Zahlen gewohnt ist; auch Folgen und deren Grenzwerte verhalten sich wie gewohnt. Mit diesen Rechenoperationen hat das Bildungsgesetz der Mandelbrot-Menge eine verführerisch einfache Form: f(z)= z² + c. Diese komplexe Funktion wird allerdings immer wieder angewandt, im Prinzp unendlich oft. Ein Punkt c gehört genau dann zur Mandelbrot-Menge, wenn die Folge 0, f(0), f(f(0)), f(f(f(0))), ..., die »Iterationsfolge«, nicht gegen unendlich strebt. (Die Funktion f ist für jeden Punkt c eine andere, wie aus der Definition hervorgeht.)

Was ist das Besondere an der Funktion f(z) = z² + c ? Die erste Auskunft ist ernüchternd: So besonders ist sie gar nicht. Um ein neues Phänomen zu studieren, nehmen die Mathematiker immer gerne das einfachste Objekt, bei dem das überhaupt möglich ist. Die einfachsten Funktionen sind die linearen wie f(z) = az + b; aber die liefern keine ernst zu nehmenden Mandelbrot-Mengen. Wenn der Parameter a im Inneren des Einheitskreises liegt, streben alle Iterationsfolgen gegen null, ansonsten streben alle gegen unendlich; das ist langweilig. Man braucht schon eine Funktion, deren Anwendung den Abstand zweier Punkte mal vergrößert, mal verkleinert, damit nicht von vornherein klar ist, ob die Iterationsfolge gegen unendlich geht oder nicht. Damit das Chaos ausbrechen kann und damit die ganze Sache interessant wird, muss unsere Iterationsfunktion nichtlinear sein. Die einfachsten nichtlinearen Funktionen sind die quadratischen, und für die ist unsere Funktionenschar f(z) = z² + c schon sehr repräsentativ.

Andere nichtlineare Funktionen ergeben neue, interessante Mandelbrot-Mengen. Statt der zweiten Potenz von z darf es die dritte, vierte, ... sein; aus ihnen sowie der Exponentialfunktion und vielen anderen, die der Baukasten der komplexen Analysis bereithält, lassen sich Iterationsfunktionen basteln, welche die bizarrsten Bilder ergeben. Merkwürdigerweise findet sich in ihnen beim Ausschnittvergrößern immer wieder das klassische Apfelmännchen. Anscheinend ist jede Nichtlinearität, wenn man sie nur häufig genug iteriert und mit einem hinreichend starken Vergrößerungsglas betrachtet, »im Wesentlichen quadratisch«, was im Umkehrschluss bedeutet, dass die klassische Iterationsfunktion das Wesentliche an der Nichtlinearität bereits erfasst.

Damit haben die Mathematiker eben doch einen guten Grund für ihre Anhänglichkeit an die quadratische Funktion: Sie realisiert »das Wesen des Nichtlinearen« und hat überdies die nützlichsten algebraischen Eigenschaften. Und genau die widersetzen sich einer Verallgemeinerung in höhere Dimensionen. Wie soll man einen Punkt im dreidimensionalen Raum mit sich selbst multiplizieren, so dass wieder ein Punkt im dreidimensionalen Raum herauskommt? Das Kreuzprodukt aus der Physik bringt nichts, denn das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ist stets null.

Wenn es vier statt drei Dimensionen sein dürfen, geht es mit dem Multiplizieren wieder etwas besser. Von einer auf zwei Dimensionen, sprich von den reellen zu den komplexen Zahlen, kommt man, indem man ein Paar reeller Zahlen zu einer neuen Zahl erklärt und auf diesen Paaren eine Multiplikation definiert. Wenn man diesen Prozess »auf der höheren Ebene« wiederholt, bekommt man Paare von komplexen Zahlen; eine Zahl neuen Typs besteht also aus vier reellen Komponenten, entsprechend einem Punkt im vierdimensionalen Raum. Auf diesen Paaren eine Multiplikation zu definieren ist allerdings nicht einfach und gelingt nicht vollständig.

Der historisch erste Versuch sind die Quaternionen des irischen Mathematikers William Rowan Hamilton (1805 – 1865). Deren Multiplikation ist zwar nicht kommutativ, es ist also im Allgemeinen ab nicht gleich ba, aber das stört gerade beim Quadrieren nicht besonders.

Wie sieht eine Mandelbrot-Menge im Raum der Quaternionen aus? Das können wir nicht sehen, da uns dreidimensionalen Wesen die unmittelbare Anschauung des vierdimensionalen Raums fehlt. Aber eine dreidimensionale »Scheibe« des vierdimensionalen Raums ist uns zugänglich – und liefert ein eher enttäuschendes Ergebnis. Von einem Zentralkörper gehen lange »Äste« aus, und wenn man die durchsägt, ist die Schnittfläche – ein Apfelmännchen (Spektrum der Wissenschaft 10/1991, S. 12)! Sehr hübsch; aber die Vielfalt der Strukturen zeigt sich eben nur quer zum Ast und nicht in dessen Längsrichtung. Damit ist sie im Wesentlichen doch wieder zweidimensional.

Dominic Rochon von der Université du Québec in Trois-Rivières (Kanada) hat eine andere Art gefunden, auf Paaren komplexer Zahlen eine Multiplikation zu definieren. Sie ist sogar kommutativ; allerdings gibt es außer der Null sehr viele Zahlen, durch die man nicht dividieren darf, was die Bewegungsfreiheit in diesem vierdimensionalen Raum etwas einschränkt. Rochon hat seine »bikomplexen Zahlen« nicht in erster Linie erfunden, um damit vierdimensionale Apfelmännchen zu machen; aber es geht und liefert überraschende Ergebnisse.

Erfolg mit Polarkoordinaten

Vielleicht ist es ja unergiebig, allzu sehr auf der algebraischen Sichtweise zu beharren. Wenn man sich schon eigens eine Multiplikation zurechtdefinieren und dabei einige Mängel in Kauf nehmen muss, bloß um damit z² ausrechnen zu können, entgehen einem möglicherweise die schönsten Eigenschaften der Mandelbrot-Menge. Stattdessen könnte eine geometrische Sichtweise zum Ziel führen.

Was macht die Abbildung f(z)=z²+c aus einem Punkt z der komplexen Zahlenebene? Es gibt in dieser Ebene einen speziellen Punkt, den Nullpunkt, und von ihm ausgehend eine spezielle Achse, die positive x-Achse. Die Zahl z² hat, verglichen mit z, den doppelten Winkel gegen die positive x-Achse und das Quadrat des Betrags. z² + c ist z² verschoben um die Zahl c.

Diese geometrischen Verhältnisse sind in der Tat auf drei Dimensionen verallgemeinerbar. Der Nullpunkt unseres Koordinatensystems sei der Erdmittelpunkt, und wir wählen zwei spezielle Achsen. Eine verläuft vom Erdmittelpunkt durch den Nordpol, die andere durch den Kreuzungspunkt von Äquator und Nullmeridian. Dann können wir jeden Punkt des dreidimensionalen Raums beschreiben durch seine Entfernung vom Erdmittelpunkt, seine geografische Breite und seine geografische Länge. Die beiden letzteren Angaben sind nichts anderes als die Winkel gegen die genannten ausgezeichneten Achsen. Dass die Geografen die Breite null nicht beim Nordpol, sondern am Äquator lokalisieren, soll uns nicht weiter stören. Die geografische Breite 180 Grad entspricht dem Südpol; ab dort geht es wieder nordwärts, bis bei 360 Grad der Nordpol erreicht ist, und so weiter.

Wie quadriert man also einen Punkt des dreidimensionalen Raums? Man quadriert den Betrag und verdoppelt seine beiden Winkel. Was unter der Erdoberfläche ist, sinkt dadurch noch tiefer, was darüber schwebt, steigt höher, und was auf der Oberfläche liegt, springt auf ihr herum, wie auch die anderen Punkte ihre geografische Länge und Breite verdoppeln. (Wir wählen den Längenmaßstab so, dass der Erdradius gleich 1 ist.) Und dadurch, dass nach dem Quadrieren noch die Konstante c addiert wird, kann ein Punkt von der Unterwelt in die Lüfte wandern oder umgekehrt. Die so verstandene Iterationsfunktion f(z)=z²+c ist also im Prinzip ebenso chaosträchtig wie das Original. Die Punkte des dreidimensionalen Raums, versehen mit der so definierten Multiplikation, haben den Namen triplex numbers (»Dreifachzahlen«) bekommen, gewissermaßen eine Steigerung von complex numbers.

Rudy Rucker, besser bekannt als Sciencefiction-Autor, war schon 1988 auf diese Idee gekommen, konnte sie aber nicht in Bilder umsetzen, wohl auch weil die Rechenleistungen damals noch nicht ausreichten. Im Herbst letzten Jahres kam jedoch Bewegung in die Sache. Eine lose Gruppe von Programmierern in aller Welt, nur verbunden durch das Internetforum fractalforums, hat die Idee aufgegriffen und im Verlauf weniger Wochen erstaunliche Bilder produziert.

Der britische Programmierer Daniel White hatte unabhängig von Rucker die »geografische« Art des Quadrierens gefunden und in ein Programm umgesetzt, damit aber nur mäßig eindrucksvolle Ergebnisse erzielt. Dann kam der amerikanische Mathematiker Paul Nylander, dem wir auch das »Bild des Monats« in der Februarausgabe verdanken, und erhöhte spaßeshalber den Exponenten. z³ bilden heißt, die Winkel verdreifachen und den Betrag zur dritten Potenz nehmen. Die zugehörige Mandelbrot-Menge sah schon besser aus. Weiter ging es mit höheren Exponenten, bis schließlich die Nummer 8 ein echtes Prachtstück lieferte:: »the Mandelbulb« oder »die Mandelknolle«.

Vergrößert man Ausschnitte des Rands dieser Menge, so treten immer feinere Details zu Tage, wie sich das für eine richtige Mandelbrot-Menge gehört. Zerschneidet man die Mandelknolle entlang einer Ebene, so trifft man auch hier die vertrauten Strukturen.

Trügerische Glätte

Es fällt jedoch auf, dass die Mandelknolle weit weniger stachlig ist als das zweidimensionale Vorbild. Man findet sogar glatte Streifen, in denen anscheinend keine kleineren Details verborgen sind, so als hätte jemand zuerst durch viele kleine Explosionen eine Wolke aus Schlagsahne hergestellt und diese hinterher hier und da mit dem Löffel glatt gestrichen.

Oder die Oberfläche wird dort nicht richtig dargestellt, weil ihre Berechnung problematisch ist. Es ist nämlich keineswegs einfach, ein solches dreidimensionalen Gebilde auf dem Bildschirm darzustellen, aus zwei Gründen. Erstens treibt kaum ein Programmierer den Aufwand, tatsächlich die eingangs erwähnten 1,4 Milliarden Quaderpunke auszurechnen. (Krzysztof Marczak, von dem die Simulation des Titelbilds stammt, tut es, was seinen Bildern einige interessante Qualitäten verschafft.) Zweitens bringt es nichts, die Punkte außerhalb der Menge einzufärben; sie würden die Menge selbst vor dem Auge des Betrachters verbergen.

Vielmehr wendet man die Verfahren an, mit denen auch die Szenen in Computerspielen dargestellt werden: Von dem – an einer gewissen Stelle im Raum gedachten – Auge des Betrachters aus sendet man in Umkehrung des Lichtwegs »Sehstrahlen« aus. Wenn ein Sehstrahl die Oberfläche des Objekts trifft, wird der entsprechende Bildschirmpunkt so eingefärbt, wie der Oberflächenpunkt aussehen würde. Der wiederum bekommt sein Licht von einer externen Lichtquelle, und wie viel davon er in Richtung Auge reflektiert, hängt von Ein- und Ausfallswinkel ab – bezüglich der Senkrechten auf die Oberfläche (der »Normalen«) in diesem Punkt. Die Oberfläche ist aber fraktal und hat deswegen im Allgemeinen keine Tangentialebene und schon gar keine Flächennormale. Der Programmierer muss also ein Surrogat für die Flächennormale verwenden und macht die Oberfläche damit in der Tendenz glatter, als sie ist.

Um den ersten Treffpunkt des Sehstrahls mit der Oberfläche des Objekts zu finden, muss man den Sehstrahl vom Auge her entlangschreiten und nach jedem Schritt überprüfen, ob man sich im Objekt befindet. Dabei müssen die Schritte so klein gewählt werden, dass das Programm nichts Wesentliches verpasst. Mit Mitteln der Analysis kann man eine Schätzung dafür gewinnen, wie weit man noch von der Menge entfernt ist, und mit deren Hilfe die Schrittweite feinsteuern. Diese Schätzfunktion liefert auch die oben angesprochene Pseudo-Flächennormale. Trotzdem können dem Algorithmus gewisse filigrane Strukturen an der Oberfläche entgehen.

Um zu bestimmen, ob ein Punkt im Schatten liegt, muss auch nachgeprüft werden, ob dem Licht auf dem Weg von der Lichtquelle zum Oberflächenpunkt ein anderer Teil des Objekts im Weg steht. Das geschieht durch ein gleichartiges Schrittverfahren.

Nachdem die ersten Mandelknollenbilder gelungen waren, kam bei den Programmierern der natürliche Spieltrieb durch. Um die Winkel richtig zu vervielfachen, muss man die gewöhnlichen (kartesischen) Koordinaten eines Punkts in Polarkoordinaten umrechnen und umgekehrt. Ändert man die zugehörigen Formeln ein bisschen ab, so kann man die Iterationsfunktion endgültig nicht mehr als Verallgemeinerung des klassischen Vorbilds auffassen; aber es gibt interessante Bilder.

Andere Programmierer entsinnen sich, dass schon die klassische Mandelbrot-Menge gar nicht so elementar ist. Vielmehr ist sie eine Zusammenfassung, sozusagen ein Katalog, einer ganzen Schar von Fraktalen, der so genannten Julia-Mengen. Auch diese Mengen bestehen per definitionem aus Punkten, für welche die Iterationsfunktion nicht ins Unendliche strebt. Nur liegt diesmal der Parameter c fest, und die Bildpunkte entsprechen den Anfangswerten der Folge. Hat man erst eine Iterationsfunktion, kann man daraus statt einer Mandelbrot-Menge eine ganze Schar von Julia-Mengen machen. Die Ergebnisse sind erstaunlich.

Haben Daniel White, Paul Nylander und ihre vielen Mitstreiter nun das dreidimensionale Äquivalent der Mandelbrot-Menge entdeckt? Das glauben sie selbst nicht. Es ist nicht zu erkennen, wieso gerade die etwas eigenwillige Definition der Multiplikation und auch noch die Acht im Exponenten der Iterationsfunktion die Universalität geben sollen, die man an der klassischen Funktion so schätzt. Aber sie haben das Tor zu einem neuen unbekannten Gebiet aufgestoßen, in dem noch viele Schätze ihrer Entdeckung harren, darunter vielleicht die »echte« dreidimensionale Mandelbrot-Menge – wenn es sie überhaupt gibt.