Mathematische Knobelei: Also, das geht so...
Erinnern Sie sich noch an die Hüpfspiele von damals? Mit Kreide Felder auf den Boden malen, ein Steinchen werfen und dann ein- oder zweibeinig von unten nach oben und zurück. Vereinzelt spielen die Kinder es heute noch. Sogar in verschärften Versionen. Da wäre zum Beispiel Knobeli-Hoppeli. Sandra und Johanna haben sich freundlicherweise bereit erklärt, uns die Regeln zu beschreiben.
"Das ist ganz einfach. Ich sag dir mal, wie das geht."
"Nein, ich sag's!"
"Nein, ich!"
"Wieso du denn?"
"Weil ich das nämlich besser kann."
"Gar nicht wahr!"
"Doch wahr. Also, das geht so: Du malst ganz viele Quadrate auf den Fußboden."
"Wie ein Schachbrett."
"Ja, aber nicht so viele. Nur sieben in jeder Reihe."
"Und von oben auch sieben."
"Genau, dann hast du sieben mal sieben. Das sind..."
"Eins, zwei, drei, vier..."
"Sieben mal sieben? Lass mich mal überlegen."
"...fünf, sechs, sieben..."
"Das haben wir noch gar nicht gehabt in der Schule."
"....acht, neun..."
"Wir sind erst bis zum Einmalfünf."
"...zehn... Äh? Und jetzt? Meine Finger sind alle!"
"Ist ja auch egal."
"Total egal."
"Jedenfalls brauchst du zwei Steine."
"Die können beide rund sein. Oder eckig. Oder spitz. Bloß nicht zu groß oder zu klein. Aber beide gleich."
"Und die schmeißt du auf das Spielfeld."
"Aber in verschiedene Kästchen."
"Wo die reinfallen, da ist Feuer."
"Da darf man nicht drauf."
"Das ist verboten."
"Nur sonntags ist es erlaubt."
"Hä? Wieso denn sonntags?"
"Weiß ich auch nicht."
"Ach, das ist doch Quatsch!"
"Mit Senfsoße."
"Also, wo Feuer ist, darfst du nicht drauftreten."
"Und mit Rosinen."
"In alle anderen Kästchen musst du reinhüpfen. Zuerst mit beiden Beinen. Dann nur mit dem rechten und dann mit dem linken."
"Mit dem linken Bein ist voll schwierig."
"Für dich vielleicht, ich kann das total gut."
"Du gehst ja auch schon zur Schule. Aber ich bin noch im Kindergarten."
"Hast du das alles verstanden?"
"Ja!"
"Dich mein ich doch gar nicht. Ich hab doch den Leser gefragt."
"Ach so, den."
"Wenn du das jetzt verstanden hast, dann musst du uns auch was helfen."
"Etwas total Schweres."
"Wir wollen nämlich wissen, wie viele verschiedene Spielfelder es gibt."
"Weil doch die Steinchen immer woanders Feuer machen können."
"Aber es gilt nicht, wenn zum Beispiel die Steinchen so liegen, und ich gehe ein bisschen um das Feld herum auf eine andere Seite, und dann liegen sie genau wie bei einem anderen Wurf."
"Ja genau, es gilt nicht, wenn man das Spielfeld einfach drehen kann."
"Die müssen schon richtig verschieden sein."
"Echt."
"Weißt du jetzt, wie viele verschiedene Spielfelder es gibt?"
"Ich zähl mal an den Fingern ab: eins, zwei, drei..."
"Nein, ich sag's!"
"Nein, ich!"
"Wieso du denn?"
"Weil ich das nämlich besser kann."
"Gar nicht wahr!"
"Doch wahr. Also, das geht so: Du malst ganz viele Quadrate auf den Fußboden."
"Wie ein Schachbrett."
"Ja, aber nicht so viele. Nur sieben in jeder Reihe."
"Und von oben auch sieben."
"Genau, dann hast du sieben mal sieben. Das sind..."
"Eins, zwei, drei, vier..."
"Sieben mal sieben? Lass mich mal überlegen."
"...fünf, sechs, sieben..."
"Das haben wir noch gar nicht gehabt in der Schule."
"....acht, neun..."
"Wir sind erst bis zum Einmalfünf."
"...zehn... Äh? Und jetzt? Meine Finger sind alle!"
"Ist ja auch egal."
"Total egal."
"Jedenfalls brauchst du zwei Steine."
"Die können beide rund sein. Oder eckig. Oder spitz. Bloß nicht zu groß oder zu klein. Aber beide gleich."
"Und die schmeißt du auf das Spielfeld."
"Aber in verschiedene Kästchen."
"Wo die reinfallen, da ist Feuer."
"Da darf man nicht drauf."
"Das ist verboten."
"Nur sonntags ist es erlaubt."
"Hä? Wieso denn sonntags?"
"Weiß ich auch nicht."
"Ach, das ist doch Quatsch!"
"Mit Senfsoße."
"Also, wo Feuer ist, darfst du nicht drauftreten."
"Und mit Rosinen."
"In alle anderen Kästchen musst du reinhüpfen. Zuerst mit beiden Beinen. Dann nur mit dem rechten und dann mit dem linken."
"Mit dem linken Bein ist voll schwierig."
"Für dich vielleicht, ich kann das total gut."
"Du gehst ja auch schon zur Schule. Aber ich bin noch im Kindergarten."
"Hast du das alles verstanden?"
"Ja!"
"Dich mein ich doch gar nicht. Ich hab doch den Leser gefragt."
"Ach so, den."
"Wenn du das jetzt verstanden hast, dann musst du uns auch was helfen."
"Etwas total Schweres."
"Wir wollen nämlich wissen, wie viele verschiedene Spielfelder es gibt."
"Weil doch die Steinchen immer woanders Feuer machen können."
"Aber es gilt nicht, wenn zum Beispiel die Steinchen so liegen, und ich gehe ein bisschen um das Feld herum auf eine andere Seite, und dann liegen sie genau wie bei einem anderen Wurf."
"Ja genau, es gilt nicht, wenn man das Spielfeld einfach drehen kann."
"Die müssen schon richtig verschieden sein."
"Echt."
"Weißt du jetzt, wie viele verschiedene Spielfelder es gibt?"
"Ich zähl mal an den Fingern ab: eins, zwei, drei..."
Es gibt 49 Möglichkeiten, den ersten Stein zu setzen. Für den zweiten bleiben 49-1 Möglichkeiten. Macht also insgesamt 49·48 Möglichkeiten, die allerdings noch durch 2 zu teilen sind, da die Steine ununterscheidbar sind. Das sind also 1176 Möglichkeiten, zwei Steine auf einem 7 mal 7 Felder großen Spielplan zu positionieren.
Nun fallen allerdings noch Positionen weg, die durch Drehsymmetrie doppelt beziehungsweise vierfach vorkommen. Zunächst die doppelten Möglichkeiten: Das sind die Steinpositionen, die symmetrisch bezüglich des mittleren Feldes sind (siehe Bild). Es gibt deren 24 (gekennzeichnet durch die jeweils gleiche Zahl).
Von den restlichen 1176–24 = 1152 Möglichkeiten gehen jeweils 4 durch Rotation um 90 Grad ineinander über. Insgesamt berechnet sich die Zahl der möglichen Spielfeldkombinationen also zu:
(1176-24)/4+24 = 312
Nun fallen allerdings noch Positionen weg, die durch Drehsymmetrie doppelt beziehungsweise vierfach vorkommen. Zunächst die doppelten Möglichkeiten: Das sind die Steinpositionen, die symmetrisch bezüglich des mittleren Feldes sind (siehe Bild). Es gibt deren 24 (gekennzeichnet durch die jeweils gleiche Zahl).
Von den restlichen 1176–24 = 1152 Möglichkeiten gehen jeweils 4 durch Rotation um 90 Grad ineinander über. Insgesamt berechnet sich die Zahl der möglichen Spielfeldkombinationen also zu:
(1176-24)/4+24 = 312
Das mathematische Problem stammt von Univ.-Prof. Dr. Gerd Baron und Dr. Richard F. Mischak. Weitere Aufgaben finden Sie auf den Seiten des Wettbewerbs Jagd auf Zahlen und Figuren. Die erzählerische "Verpackung" gestaltete Dr. Olaf Fritsche.
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