Mathematische Knobelei: Geschäfte zwischen Tür und Angel
Ein geschickter Vertreter kann alles verkaufen. Sei es den kleinsten Kürbiskernbonbon der Welt oder die Luft aus einer Flasche (ohne Flasche, versteht sich) - irgendeinen Dummkopf finden sie immer. Wie gut, dass intelligente Menschen wie Sie und ich vor derart windigen Geschäftemachern sicher sind.
Ich hatte mir gerade meinen Hut aufgesetzt und die Tür geöffnet, um das Haus zu verlassen, da stand er vor mir. "Gestatten, Zählsmen. Ernie Zählsmen, von der Firma Count&Co.", stellte er sich mit einem professionell gewinnenden Lächeln vor. "Welch ein Glück für Sie, dass ich Sie gerade noch antreffe. Es dauert nur ein paar Minuten und soll Ihr Schaden nicht sein." Obwohl ich in dem Moment lieber das Glück gehabt hätte, meinen Bus in die Stadt noch rechtzeitig anzutreffen, trat Herr Zählsmen mit einem knappen "Sie erlauben doch" in die Diele. Er ließ kurz einen geübten Blick durch den Raum schweifen, machte zwei Schritte auf die hölzerne Truhe zu, stellte vorsichtig den vor sich hinstaubenden Trockenblumenstrauß meiner Frau auf den Boden und legte schwungvoll seinen eleganten Aktenkoffer auf den freigewordenen Platz.
"Also eigentlich wollte ich ...", setzte ich zaghaft zu einem Satz des Protestes an, doch Herr Zählsmen unterbrach mich mit erhobenem rechten Zeigefinger. "Ha!", sagte er. "Ab heute heißt es für Sie nicht mehr 'eigentlich wollte ich' - ab heute gibt es für Sie nur noch 'ich werde'." Dabei sah er mir tief in die Augen, deren erstaunter Ausdruck vermutlich hervorragend mit meinem offen stehenden Mund harmonierte. Herr Zählsmen nutzte die Pause, um vom bremsenden Zeigefinger zur Geste der ausgebreiteten Arme überzugehen. "Schauen Sie sich doch einmal selbst um", forderte er mich auf. "Was sehen Sie? Eine Holztruhe, eine Garderobe, einen Spiegel, kurz: ein gemütliches Heim wie es Tausende, sogar Millionen andere gibt im Land. Ein Heim für Berts, keinesfalls für einen Mann wie Sie."
Der 'Mann wie ich' war sich unschlüssig, ob er nun amüsiert oder mäßig verärgert sein sollte, und beschloss, vor einer Entscheidung abzuwarten, worauf dieser Besuch eigentlich hinauslaufen würde. Mein Bus war inzwischen sowieso ohne mich abgefahren, der Termin in der Stadt damit geplatzt, und Herr Zählsmen näherte sich mit ausdrucksstark vorgestreckten Händen, welche die Größe eines Schuhkartons anzudeuten schienen, sowohl mir als auch dem Kern seiner Visite. "Was Sie brauchen", hauchte er bedeutungsschwer, "ist eine Zahl." "Eine ... Zahl?", fragte ich nach, da ich mir nicht ganz sicher war, ihn richtig verstanden zu haben. Er nickte. "Natürlich keine gewöhnliche Zahl, wie man sie in jedem Wald finden kann. Und auch keine herkömmliche Wiesenziffer. Nein! Für Sie muss es eine besondere Zahl sein. Eine, die zu Ihnen passt, Ihren Charakter herausstellt, Ihre Stärken hervorhebt."
Ich hob die Augenbrauen. "Eine besondere Zahl?", wiederholte ich. "Sehen Sie? Mir war von Beginn an klar, dass Sie die Bedeutung einer solchen Anschaffung zu schätzen wissen", freute Herr Zählsmen sich. Und Sie werden es kaum glauben, aber Count&Co. hat ganz genau das Richtige für Sie. Absolute Qualitätsprodukte, stets frisch aus Indien eingetroffen." Ich glaubte es, zumal in zwei schnappenden Bewegungen die Schlösser seines Aktenkoffers aufflogen. "Handarbeit, jede Zahl ein Unikat", lobte Herr Zählsmen seine Ware. "Da gibt es keine Unstetigkeiten oder kratzende Nachkommastellen. Alles rein natürliche Zahlen." Er hob andächtig eine Sieben aus dem Koffer und reichte sie mir. Die Oberfläche fühlte sich glatt und angenehm kühl an. "Gerade Zahlen sind selbstverständlich ein wenig weicher und wärmer", erfuhr ich aus seinem kundigen Mund. "Haben Sie auch mehrstellige Zahlen?", wollte ich wissen. "Aber natürlich, in reicher Auswahl. Count&Co führt alle ganzen Zahlen bis zu +/- 999 999."
Die Sieben auf meinem Arm schnurrte leise. Ich streichelte ihr vorsichtig den Querstrich. Ob meine Frau wohl mit einem neuen Hausbewohner einverstanden wäre, fragte ich mich. Immerhin hatte sie eine leichte Allergie gegen Integralzeichen, und wer weiß, wie ihr Immunsystem auf Zahlen reagieren würde. "Da machen Sie sich mal keine Sorgen", zerstreute Herr Zählsmen meine Befürchtungen. "Unsere Zahlen durchlaufen im Herstellungsprozess mehrere Funktionen und lösen garantiert keine allergischen Anfälle aus." Ich war beruhigt. Kurzentschlossen fragte ich: "Können Sie denn noch rechtzeitig vor Weihnachten liefern, wenn ich jetzt gleich bei Ihnen bestelle?" "Sicher, das ist kein Problem. Welche Zahl soll es denn sein?" "Oh, es muss schon etwas Besonderes sein", überlegte ich. "Wissen Sie, meine Frau züchtet Kubikwurzeln, und da sollte die Zahl zu ihrer Sammlung passen. Und zu klein darf sie auch nicht sein. Ich nehme eine Zahl, von der man die letzten drei Ziffern wegstreichen kann, sodass der stehen gebliebene Rest gleich der Kubikwurzel der ursprünglichen Zahl ist." Der Kugelschreiber von Herrn Zählsmen blieb auf dem Bestellformular stehen. "Äh ...", machte er. "Ja!", bestätigte ich. "Diese Zahl möchte ich haben und keine andere. Bitte liefern Sie vormittags, dann ist meine Frau außer Haus. Es soll ja schließlich eine Überraschung werden." Mit diesen Worten unterzeichnete ich die Bestellung, schob Herrn Zählsmen sanft aus der Wohnung und schloss die Tür hinter ihm. Das wird ein feines Geschenk werden, freute ich mich. Vorausgesetzt, Herr Zählsmen hat rechtzeitig ausgeknobelt, welche Zahl ich haben möchte. Aber vielleicht helfen Sie ihm ja.
"Also eigentlich wollte ich ...", setzte ich zaghaft zu einem Satz des Protestes an, doch Herr Zählsmen unterbrach mich mit erhobenem rechten Zeigefinger. "Ha!", sagte er. "Ab heute heißt es für Sie nicht mehr 'eigentlich wollte ich' - ab heute gibt es für Sie nur noch 'ich werde'." Dabei sah er mir tief in die Augen, deren erstaunter Ausdruck vermutlich hervorragend mit meinem offen stehenden Mund harmonierte. Herr Zählsmen nutzte die Pause, um vom bremsenden Zeigefinger zur Geste der ausgebreiteten Arme überzugehen. "Schauen Sie sich doch einmal selbst um", forderte er mich auf. "Was sehen Sie? Eine Holztruhe, eine Garderobe, einen Spiegel, kurz: ein gemütliches Heim wie es Tausende, sogar Millionen andere gibt im Land. Ein Heim für Berts, keinesfalls für einen Mann wie Sie."
Der 'Mann wie ich' war sich unschlüssig, ob er nun amüsiert oder mäßig verärgert sein sollte, und beschloss, vor einer Entscheidung abzuwarten, worauf dieser Besuch eigentlich hinauslaufen würde. Mein Bus war inzwischen sowieso ohne mich abgefahren, der Termin in der Stadt damit geplatzt, und Herr Zählsmen näherte sich mit ausdrucksstark vorgestreckten Händen, welche die Größe eines Schuhkartons anzudeuten schienen, sowohl mir als auch dem Kern seiner Visite. "Was Sie brauchen", hauchte er bedeutungsschwer, "ist eine Zahl." "Eine ... Zahl?", fragte ich nach, da ich mir nicht ganz sicher war, ihn richtig verstanden zu haben. Er nickte. "Natürlich keine gewöhnliche Zahl, wie man sie in jedem Wald finden kann. Und auch keine herkömmliche Wiesenziffer. Nein! Für Sie muss es eine besondere Zahl sein. Eine, die zu Ihnen passt, Ihren Charakter herausstellt, Ihre Stärken hervorhebt."
Ich hob die Augenbrauen. "Eine besondere Zahl?", wiederholte ich. "Sehen Sie? Mir war von Beginn an klar, dass Sie die Bedeutung einer solchen Anschaffung zu schätzen wissen", freute Herr Zählsmen sich. Und Sie werden es kaum glauben, aber Count&Co. hat ganz genau das Richtige für Sie. Absolute Qualitätsprodukte, stets frisch aus Indien eingetroffen." Ich glaubte es, zumal in zwei schnappenden Bewegungen die Schlösser seines Aktenkoffers aufflogen. "Handarbeit, jede Zahl ein Unikat", lobte Herr Zählsmen seine Ware. "Da gibt es keine Unstetigkeiten oder kratzende Nachkommastellen. Alles rein natürliche Zahlen." Er hob andächtig eine Sieben aus dem Koffer und reichte sie mir. Die Oberfläche fühlte sich glatt und angenehm kühl an. "Gerade Zahlen sind selbstverständlich ein wenig weicher und wärmer", erfuhr ich aus seinem kundigen Mund. "Haben Sie auch mehrstellige Zahlen?", wollte ich wissen. "Aber natürlich, in reicher Auswahl. Count&Co führt alle ganzen Zahlen bis zu +/- 999 999."
Die Sieben auf meinem Arm schnurrte leise. Ich streichelte ihr vorsichtig den Querstrich. Ob meine Frau wohl mit einem neuen Hausbewohner einverstanden wäre, fragte ich mich. Immerhin hatte sie eine leichte Allergie gegen Integralzeichen, und wer weiß, wie ihr Immunsystem auf Zahlen reagieren würde. "Da machen Sie sich mal keine Sorgen", zerstreute Herr Zählsmen meine Befürchtungen. "Unsere Zahlen durchlaufen im Herstellungsprozess mehrere Funktionen und lösen garantiert keine allergischen Anfälle aus." Ich war beruhigt. Kurzentschlossen fragte ich: "Können Sie denn noch rechtzeitig vor Weihnachten liefern, wenn ich jetzt gleich bei Ihnen bestelle?" "Sicher, das ist kein Problem. Welche Zahl soll es denn sein?" "Oh, es muss schon etwas Besonderes sein", überlegte ich. "Wissen Sie, meine Frau züchtet Kubikwurzeln, und da sollte die Zahl zu ihrer Sammlung passen. Und zu klein darf sie auch nicht sein. Ich nehme eine Zahl, von der man die letzten drei Ziffern wegstreichen kann, sodass der stehen gebliebene Rest gleich der Kubikwurzel der ursprünglichen Zahl ist." Der Kugelschreiber von Herrn Zählsmen blieb auf dem Bestellformular stehen. "Äh ...", machte er. "Ja!", bestätigte ich. "Diese Zahl möchte ich haben und keine andere. Bitte liefern Sie vormittags, dann ist meine Frau außer Haus. Es soll ja schließlich eine Überraschung werden." Mit diesen Worten unterzeichnete ich die Bestellung, schob Herrn Zählsmen sanft aus der Wohnung und schloss die Tür hinter ihm. Das wird ein feines Geschenk werden, freute ich mich. Vorausgesetzt, Herr Zählsmen hat rechtzeitig ausgeknobelt, welche Zahl ich haben möchte. Aber vielleicht helfen Sie ihm ja.
... sollte man ja bekanntlich mit Vorsicht genießen. Und dann auch noch dem Vertreter bei seinen Hausaufgaben helfen? Einiges abverlangt haben wir Ihnen diesen Monat bei der Mathematischen Knobelei.
Gesucht sind ganze Zahlen zwischen -999 999 und 999 999, deren Kubikwurzel der jeweiligen ursprünglichen Zahl entspricht, wenn deren letzten drei Stellen weggestrichen werden. Nun könnte man freilich hingehen, und alle Kubikzahlen zwischen 0 und 999 999 auf diese Eigenschaft hin untersuchen. Die negativen Zahlen können wir dabei ausklammern. Denn haben wir eine positive Zahl gefunden, für die die Rechnung aufgeht, so muss dies auch auf ihr negatives Pendant zutreffen. Trotzdem hätten wir knapp 100 Zahlen zu prüfen, was doch ein wenig viel Arbeit wäre. Aber vielleicht geht es auch ein wenig einfacher.
Stellen wir zunächst eine kleine Gleichung auf. Seien x und y dabei zwei beliebige dreistellige ganze Zahlen zwischen 0 und 999, wobei x·1000 + y die gesuchte Kubikzahl ergibt. Dann muss laut Aufgabenstellung folgender Zusammenhang gelten:
(x·1000 + y)1/3 = x
Setzten wir beide Seiten der Gleichung in die dritte Potenz:
x·1000 + y = x3
...und teilen nun durch x. (Dabei darf x nicht 0 seien, aber dieser Fall ist ohnehin auszuschließen, denn sonst würde von der Zahl beim Streichen der letzten drei Stellen - also von y - nichts übrig bleiben. Und wir kaufen doch nicht die Katze im Sack, oder vielleicht doch?)
1000 + y/x = x2
Der Bruch y/x kann aufgrund der Vorgaben für x und y nur Wert zwischen 0 und 999 einnehmen. Das heißt, die Quadratzahl x2 kann nur zwischen 1000 und 1999 liegen. Oder anders ausgedrückt: x muss zwischen 32 und 44 liegen. (Denn nur ganze Zahlen sind zulässig und die negativen Zahlen brauchen wir aus oben genannten Gründen nicht zu betrachten.)
Na gut, das sind doch schon deutlich weniger Möglichkeiten für x. Probieren wir also einfach die 12 Zahlen aus. Zunächst x = 32.
Dann ergibt sich nach obiger Gleichung:
1000 + y/32 = 322
Damit errechnen wir für y:
y = 768.
Na bitte, damit haben wir doch schon die erste Lösung, denn y ist wie gefordert eine ganze Zahl und dreistellig. Die komplette Kubikzahl lautet also 32 768 und ist die dritte Potenz von 32. Ebenso ist -32 768 die dritte Potenz von -32. Aber sind das alle Lösungen?
Probieren wir die nächste Zahl für x nämlich 33:
Dann erhalten wir:
1000 + y/33 = 332
Das liefert:
y = 2937
y ist also nicht mehr dreistellig, sondern bereits vierstellig. Ähnliches gilt auch für alle anderen x-Werte bis 44. Somit sind -32 768 und 32 768 die einzigen beiden ganzen Zahlen zwischen -999 999 und 999 999, deren dritte Wurzel der um die letzten drei Stellen gekürzten ursprünglichen Zahl entspricht. Aber mal ehrlich, würden Sie für diese Zahlen Geld bezahlen?
Stellen wir zunächst eine kleine Gleichung auf. Seien x und y dabei zwei beliebige dreistellige ganze Zahlen zwischen 0 und 999, wobei x·1000 + y die gesuchte Kubikzahl ergibt. Dann muss laut Aufgabenstellung folgender Zusammenhang gelten:
(x·1000 + y)1/3 = x
Setzten wir beide Seiten der Gleichung in die dritte Potenz:
x·1000 + y = x3
...und teilen nun durch x. (Dabei darf x nicht 0 seien, aber dieser Fall ist ohnehin auszuschließen, denn sonst würde von der Zahl beim Streichen der letzten drei Stellen - also von y - nichts übrig bleiben. Und wir kaufen doch nicht die Katze im Sack, oder vielleicht doch?)
1000 + y/x = x2
Der Bruch y/x kann aufgrund der Vorgaben für x und y nur Wert zwischen 0 und 999 einnehmen. Das heißt, die Quadratzahl x2 kann nur zwischen 1000 und 1999 liegen. Oder anders ausgedrückt: x muss zwischen 32 und 44 liegen. (Denn nur ganze Zahlen sind zulässig und die negativen Zahlen brauchen wir aus oben genannten Gründen nicht zu betrachten.)
Na gut, das sind doch schon deutlich weniger Möglichkeiten für x. Probieren wir also einfach die 12 Zahlen aus. Zunächst x = 32.
Dann ergibt sich nach obiger Gleichung:
1000 + y/32 = 322
Damit errechnen wir für y:
y = 768.
Na bitte, damit haben wir doch schon die erste Lösung, denn y ist wie gefordert eine ganze Zahl und dreistellig. Die komplette Kubikzahl lautet also 32 768 und ist die dritte Potenz von 32. Ebenso ist -32 768 die dritte Potenz von -32. Aber sind das alle Lösungen?
Probieren wir die nächste Zahl für x nämlich 33:
Dann erhalten wir:
1000 + y/33 = 332
Das liefert:
y = 2937
y ist also nicht mehr dreistellig, sondern bereits vierstellig. Ähnliches gilt auch für alle anderen x-Werte bis 44. Somit sind -32 768 und 32 768 die einzigen beiden ganzen Zahlen zwischen -999 999 und 999 999, deren dritte Wurzel der um die letzten drei Stellen gekürzten ursprünglichen Zahl entspricht. Aber mal ehrlich, würden Sie für diese Zahlen Geld bezahlen?
Das mathematische Problem stammt von Univ.-Prof. Dr. Gerd Baron und Dr. Richard F. Mischak. Weitere Aufgaben finden Sie auf den Seiten des Wettbewerbs Jagd auf Zahlen und Figuren. Die erzählerische "Verpackung" gestaltete Dr. Olaf Fritsche.
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