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Tipp 4
Das geschilderte Rezept funktioniert prima für ungerade n und scheitert kläglich für gerade. Wie kommt das? An dieser Stelle holen die Profis die "Gruppe der ganzen Zahlen modulo n", die wegen intensiven Gebrauchs schon ziemlich abgenutzt aussieht, aus der Kiste und wissen ziemlich schnell Bescheid. Aber man kommt auch ohne Gruppentheorie dahinter.
Die Idee ist: Wir nummerieren die Felder des Quadrats mit einem Zeilen– und einem Spaltenindex, die beide von 0 bis n–1 laufen. Eine Zeile tiefer, ein Feld nach rechts entspricht einer Verschiebung um den Vektor (1, 1). Eine Zeile tiefer, zwei Felder nach rechts ist der Vektor (1, 2) und so weiter. Das Rumrutschen berücksichtigen wir durch die Verabredung, dass jede Zahl, die gleich n oder größer ist, durch Subtrahieren von n wieder in den Bereich von 0 bis n–1 gebracht wird. Entsprechend muss man zu jeder Zahl, die kleiner als null ist, n addieren. Man rechnet "modulo n".
Wenn wir für n = 4 das Rezept "eins nach unten, zwei nach rechts" anwenden, kommen wir vom Feld (0, 0) (das ist das Feld ganz links oben) nach (1, 2) und dann nach (2, 4); aber das ist gleich (2, 0), und schon haben wir kein lateinisches Quadrat mehr, denn Spalte 0 ist doppelt besetzt: (0, 0) und (2, 0). Diese beiden Felder bekämen also dieselbe Farbe, was nicht sein darf. Allgemein gilt: Wenn der Verschiebungsvektor von einer Zeile zur nächsten gleich (1, k) und k ein echter Teiler von n ist, dann ergibt sich kein lateinisches Quadrat. Das lässt für n = 4 nicht mehr viele Möglichkeiten offen. Für k kommen nur noch die Werte 1 und 3 = –1 (modulo 4) in Frage. Na schön; was passiert, wenn wir das eine lateinische Quadrat mit Verschiebung um eins nach rechts und das andere mit Verschiebung um eins nach links basteln?

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