Wieder knirscht es, und zwar in der dritten Zeile. Wie kommt das? Nun, –2 = 2 (modulo 4), also finden sich nach zwei Verschiebungen dieselben Kombinationen von Innen– und Außenfeld wie am Anfang. Demnach sind die beiden primitiven lateinischen Quadrate zu n = 4 nicht orthogonal zueinander.
Hat das Problem für n = 4 überhaupt eine Lösung? Ja, und man findet sie mit etwas Geduld. Halten Sie sich nur nicht zu lange mit den primitiven lateinischen Quadraten auf.
Für ungerade n kommt man mit den primitiven Quadraten – eins mit Verschiebung 1, das andere mit Verschiebung 2 – prima zurecht. Da 2 kein Teiler von n ist – eine vornehme Ausdrucksweise für "n ist ungerade" – kommen beide Bedingungen, an denen diese Konstruktion für n = 4 scheiterte, nicht vor. Was ist mit den anderen geraden Zahlen? In Verallgemeinerung der Lösung für n = 4 findet man griechisch–lateinische Quadrate für n = 8, 12, 16, … alle Vielfachen von 4. Es bleiben die geraden Zahlen, die nicht ganz so gerade sind: 2, 6, 10, …
Dass es für n = 2 nicht funktionieren kann, sieht man ziemlich schnell. In dem engen Quadratchen ist einfach nicht genug Platz, dass die verschiedenen Farben einander aus dem Wege gehen könnten. Wie steht es mit n = 6? Man scheitert nicht so schnell, aber man scheitert. Der große Euler ist daran gescheitert, hat aber nicht alle Möglichkeiten erschöpfend durchprobiert. Diese Sklavenarbeit hat erst anderthalb Jahrhunderte später, aber immer noch ohne Computer, ein Franzose namens G. Tarry unternommen. Es gibt kein griechisch–lateinisches Quadrat zur Ordnung 6. Besser, Sie hören rechtzeitig auf mit Probieren.
Probleme dieser Art werden zwar mühsamer, je größer n wird – man hat einfach viel mehr Farben zu setzen, bevor man merkt, was passiert –, aber merkwürdigerweise leichter lösbar: Große Quadrate bieten eben auch sehr viel mehr Möglichkeiten. In unserem Fall scheitert eine Lösung für n = 2 sehr bald, für n = 6 scheitert sie knapp, und für n = 10 scheitert sie gar nicht! Euler hatte vermutet, dass eine Lösung für alle n von der Form 4k+2 unmöglich sei; aber da hatte sich der große Mann geirrt. Immerhin dauerte es volle 177 Jahre, bis 1959 drei Mathematiker mit einer Widerlegung aufwarten konnten: R. C. Bose und S. S. Shrikhande von der Universität von North Carolina sowie E. T. Parker von dem Computerhersteller Univac.
Die Computer waren damals allerdings noch so langsam, dass eine erschöpfende Suche für n = 10 Jahrmillionen in Anspruch genommen hätte. Auch sonst haben, soweit erkennbar, die drei Mathematiker von den Fähigkeiten der damaligen Computer keinen ernsthaften Gebrauch gemacht. Wenn Sie sich also an dem Quadrat für n = 10 versuchen wollen: Sie haben eine Chance. Aber es ist Geduld erforderlich …
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