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Was haben Euler'sche Quadrate mit magischen Quadraten zu tun?
Eine ganze Menge. Man setze statt der Farben die Zahlen von 0 bis n -1 ein, multipliziere die Außenfarbe mit n und addiere die Innenfarbe dazu. Bei n = 10 ist offensichtlich, was passiert: Die Außenfarbe wird die Zehnerstelle und die Innenfarbe die Einerstelle, mit dem Effekt, dass jede Zahl zwischen 0 und 99 genau einmal vorkommt. Jede Zeilensumme ist gleich 10 mal die Summe aller Außenfarben plus die Summe aller Innenfarben, und das ist jedesmal dieselbe Zahl, weil jede Zeile alle Innen- und alle Außenfarben genau einmal enthält. Dasselbe gilt für die Spaltensummen. Für andere Werte von n funktioniert das genauso, nur muss man, für uns etwas ungewohnt, im Zahlensystem zur Basis n denken. Den zwölffingrigen Außerirdischen, die naturgemäß im Zwölfersystem rechnen, und den alten Babyloniern würde eine Erklärung mit n = 12 eher einleuchten. Üblicherweise enthält ein magisches Quadrat die Zahlen von 1 bis n2. Macht nichts: Wir addieren zu jedem Feld unserer Quadrate, die aus den Zahlen von 0 bis n2-1 bestehen, eins dazu, dann stimmt das. Außerdem sollen die Diagonalensummen auch noch gleich der magischen Zahl sein. Das ergibt sich nicht ganz von alleine. Wenn wir bei unseren primitiven lateinischen Quadraten die Verschiebungsweiten 1 und -1 nicht verwenden, bekommen wir auch in den Diagonalen komplette Sortimente aller Farben. Oder wir versuchen die beiden Bedingungen durch Vertauschen von Zeilen und Spalten - das die restlichen magischen Eigenschaften nicht beeinträchtigt - zu erfüllen.

Fazit: Wenn man von den Bedingungen an die Diagonalen absieht, ist aus jedem Euler'schen Quadrat ohne weiteres ein magisches Quadrat zu machen; die populärsten Konstruktionsanleitungen für magische Quadrate folgen diesem Muster. Andersherum geht es im Allgemeinen nicht: Wenn man die Einträge eines magischen Quadrats in "Zehner- und Einerstellen" (allgemein: in ein Vielfaches von n plus den Rest bei der Division durch n) zerlegt, dann ist das Quadrat aus den Zehnerstellen im Allgemeinen nicht lateinisch und das andere auch nicht.
Insbesondere gibt es jede Menge magische Quadrate zur Ordnung 6, aber keines von ihnen lässt sich in ein Paar orthogonaler lateinischer Quadrate zerlegen; denn sonst gäbe es ja ein Euler'sches Quadrat der Ordnung 6.

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