Mathematische Knobelei: Im Weltraumtaxi auf Abwegen
Es ist alles beim Alten geblieben. Auch in der Zukunft fahren Studenten Taxi, um sich ihre Ausbildung zu finanzieren. Sie bekommen weiterhin nach der Abschlussprüfung keinen Job und bleiben irgendwie in ihren Taxis hängen. Nur zwei Unterschiede zu den Verhältnissen von heute wird es geben: Die Routen erstrecken sich in drei Raumdimensionen, und die Fahrer haben nicht Philosophie, Politologie oder Soziologie studiert, sondern Mathematik. Achten Sie also auf die Fahrstrecke!
"Herzlich willkommen auf der Interplanetaren Raumstation 42! Sie befinden sich an Punkt A, der Würfelecke vorne unten links. Bitte stellen sie ihr implantiertes Telefon aus, geben Sie an der Sputumaufnahme neben Ihnen eine Speichelprobe zur Überprüfung Ihrer DNA ab, und verriegeln Sie die magnetischen Sicherheitspunkte."
Wer kennt sie nicht, diese hingesäuselte Automatenansage, sobald man sich in ein Spacehopper-Taxi auf IPR42 setzt? Reichlich viel Aufwand, wenn man bedenkt, dass die gesamte Raumstation in Wirklichkeit nur würfelförmig ist und nicht mehr als acht Stationen hat, in jeder Ecke eine.
Ja, das hätten Sie nicht gedacht, oder? Irgendwie wirkt IPR42 viel größer und komplexer, wenn man mit dem Taxi von einem Ort zum anderen möchte. Da werden Geraden geflogen, Kurven genommen, Anstiege bewältigt und Abfahrten durchdonnert. Es kann Stunden dauern, bis man endlich sein Ziel erreicht. Und macht man die gleiche Tour ein paar Tage später ein zweites Mal, zieht der Flug sich sogar noch länger hin.
Soll ich Ihnen ein Geheimnis verraten? Man hat Sie reingelegt! Kein Scherz! Aus purer Notwendigkeit. Was glauben Sie wohl, welchen Hungerlohn wir Taxiflieger bekommen würden, wenn wir immer den kürzesten Weg einschlagen würden? Das wäre nicht einmal genug, um den Fusionsreaktor unserer Spacehopper aufzutanken.
Darum wird ein wenig getrickst. Da als Piloten nur mathematisch versierte Exstudenten in Frage kommen - denn jemand anderes würde im Leben nicht die Betriebsanleitung dieser Kisten verstehen -, merkt das kein Mensch. Dabei braucht man nur ein paar einfache Regeln zu beachten.
Nehmen wir als Beispiel an, der Fahrgast will von Punkt A, unten vorne links, in die schräg gegenüberliegende Ecke B, oben, hinten rechts. Da könnten wir natürlich einen flotten Dreiseiter fliegen. Machen wir auch. Aber nicht immer. Denn das bringt nichts in die Kasse. Stattdessen kutschieren wir den Kunden jedes Mal, wenn diese Anfangs- und Endpunkte gewünscht sind, über eine andere Route. Keine wird zweimal benutzt, bevor wir nicht alle Varianten durch haben. Und Vorsicht! Der Ausgangspunkt A darf unterwegs selbstverständlich nicht passiert werden. Denn das würde selbst ein etwas dümmlicher Fahrgast bemerken, wenn wir hin und her durch den Raum flitzen und plötzlich wieder am Start vorbeikommen.
Wer kennt sie nicht, diese hingesäuselte Automatenansage, sobald man sich in ein Spacehopper-Taxi auf IPR42 setzt? Reichlich viel Aufwand, wenn man bedenkt, dass die gesamte Raumstation in Wirklichkeit nur würfelförmig ist und nicht mehr als acht Stationen hat, in jeder Ecke eine.
Ja, das hätten Sie nicht gedacht, oder? Irgendwie wirkt IPR42 viel größer und komplexer, wenn man mit dem Taxi von einem Ort zum anderen möchte. Da werden Geraden geflogen, Kurven genommen, Anstiege bewältigt und Abfahrten durchdonnert. Es kann Stunden dauern, bis man endlich sein Ziel erreicht. Und macht man die gleiche Tour ein paar Tage später ein zweites Mal, zieht der Flug sich sogar noch länger hin.
Soll ich Ihnen ein Geheimnis verraten? Man hat Sie reingelegt! Kein Scherz! Aus purer Notwendigkeit. Was glauben Sie wohl, welchen Hungerlohn wir Taxiflieger bekommen würden, wenn wir immer den kürzesten Weg einschlagen würden? Das wäre nicht einmal genug, um den Fusionsreaktor unserer Spacehopper aufzutanken.
Darum wird ein wenig getrickst. Da als Piloten nur mathematisch versierte Exstudenten in Frage kommen - denn jemand anderes würde im Leben nicht die Betriebsanleitung dieser Kisten verstehen -, merkt das kein Mensch. Dabei braucht man nur ein paar einfache Regeln zu beachten.
Nehmen wir als Beispiel an, der Fahrgast will von Punkt A, unten vorne links, in die schräg gegenüberliegende Ecke B, oben, hinten rechts. Da könnten wir natürlich einen flotten Dreiseiter fliegen. Machen wir auch. Aber nicht immer. Denn das bringt nichts in die Kasse. Stattdessen kutschieren wir den Kunden jedes Mal, wenn diese Anfangs- und Endpunkte gewünscht sind, über eine andere Route. Keine wird zweimal benutzt, bevor wir nicht alle Varianten durch haben. Und Vorsicht! Der Ausgangspunkt A darf unterwegs selbstverständlich nicht passiert werden. Denn das würde selbst ein etwas dümmlicher Fahrgast bemerken, wenn wir hin und her durch den Raum flitzen und plötzlich wieder am Start vorbeikommen.
Was schätzen Sie: Wie viele unterschiedliche Wege von A nach B entlang der Würfelkanten gibt es, wenn keine Kante mehr als einmal beflogen werden darf und Punkt A nach dem Start tabu ist? Wollen wir doch mal sehen, ob Sie das Zeug zu einem echten Spacehopper-Piloten haben.
Haben Sie auch das Gefühl, dass Taxifahrer gerne schon mal einen Umweg fahren, um die Rechnung noch ein wenig hochzutreiben? Zumindest in der Zukunft scheint das wohl gang und gäbe zu sein. Die Dritte Dimension macht’s möglich.
Schon dreist, wie uns die künftigen Mathematikstudenten verschaukeln wollen und die Taxifahrt zum teuren Spaß werden lassen. Aber zumindest muss man ihnen auch ein bisschen Respekt zollen für die Übersicht in der Dreidimensionalität - selbst dann, wenn nur Würfelseiten abgeflogen werden. Aber wie ist das nun? Auf wie vielen Wegen kommt man in einem Würfel zur im Raum gegenüberliegenden Ecke, wenn jede Kanten maximal einmal als Weg zur Verfügung steht und der Ausgangspunkt nicht zweimal besucht werden darf?
Ergänzen wir in der Skizze zunächst die Bezeichnung der verbleibenden Ecken, damit wir die Wege besser beschreiben können. Die Ecken, die sich direkt über eine Kante von A aus erreichen lassen, heißen A1, A2 und A3. Entsprechend benennen wir die von B aus erreichbaren Ecken B1, B2 und B3.
Starten wir bei A und sehen wir uns zunächst an welche Wege über A1 zum Ziel führen:
A --> A1 --> B1 --> B
A --> A1 --> B2 --> B
A --> A1 --> B1 --> A3 --> B3 -->B
A --> A1 --> B2 --> A2 --> B3 -->B
A --> A1 --> B1 --> A3 --> B3 --> A2 --> B2 -->B
A --> A1 --> B2 --> A2 --> B3 --> A3 --> B1 -->B
Offensichtlich gibt es genau 6 Wege über die Ecke A1 - jeweils zwei Wege mit zwei Zwischenstationen, zwei mit vieren und schließlich noch einmal zwei mit sechs Stationen. Die Routen über A2 beziehungsweise A3 brauchen wir gar nicht mehr untersuchen. Aufgrund der Symmetrie im Würfel ergeben sich hier genauso viele Möglichkeiten. Das heißt also es gibt genau 3 * 6 = 18 mögliche Routen über die Kanten des Würfels. Da muss man tatsächlich schon eine Weile Taxi fahren, bis sich mal ein Weg wiederholt.
Ergänzen wir in der Skizze zunächst die Bezeichnung der verbleibenden Ecken, damit wir die Wege besser beschreiben können. Die Ecken, die sich direkt über eine Kante von A aus erreichen lassen, heißen A1, A2 und A3. Entsprechend benennen wir die von B aus erreichbaren Ecken B1, B2 und B3.
Starten wir bei A und sehen wir uns zunächst an welche Wege über A1 zum Ziel führen:
A --> A1 --> B1 --> B
A --> A1 --> B2 --> B
A --> A1 --> B1 --> A3 --> B3 -->B
A --> A1 --> B2 --> A2 --> B3 -->B
A --> A1 --> B1 --> A3 --> B3 --> A2 --> B2 -->B
A --> A1 --> B2 --> A2 --> B3 --> A3 --> B1 -->B
Offensichtlich gibt es genau 6 Wege über die Ecke A1 - jeweils zwei Wege mit zwei Zwischenstationen, zwei mit vieren und schließlich noch einmal zwei mit sechs Stationen. Die Routen über A2 beziehungsweise A3 brauchen wir gar nicht mehr untersuchen. Aufgrund der Symmetrie im Würfel ergeben sich hier genauso viele Möglichkeiten. Das heißt also es gibt genau 3 * 6 = 18 mögliche Routen über die Kanten des Würfels. Da muss man tatsächlich schon eine Weile Taxi fahren, bis sich mal ein Weg wiederholt.
Das mathematische Problem stammt von Univ.-Prof. Dr. Gerd Baron und Dr. Richard F. Mischak. Weitere Aufgaben finden Sie auf den Seiten des Wettbewerbs Jagd auf Zahlen und Figuren. Die erzählerische "Verpackung" gestaltete Dr. Olaf Fritsche.
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