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Mathematische Knobelei: Die Da-Vinci-Verschwörung

Manchmal dauert es Jahrhunderte, eins und eins zusammenzuzählen. Ganze Generationen übersehen offensichtliche Zusammenhänge. Sind blind gegenüber geheimen Koalitionen der wahren Großen ihrer Zeit. Und dann erleuchtet ein einzelner Zufallsfund, was niemals ans Tageslicht gelangen sollte. In einem einzigen Augenblick verändert sich unser gesamtes Weltbild. Oder glauben Sie etwa immer noch, Kolumbus hätte einen Seeweg nach Indien gesucht?
15. April 1452. In dem toskanischen Örtchen Vinci wird ein Knabe geboren. Der kleine Leonardo ist unehelich. Ein Umstand, der eigentlich einer Laufbahn an den Fürstenhöfen Europas für immer im Wege stehen sollte. Doch sein schier unerschöpfliches Talent macht Leonardo da Vinci zu einem gefragten Ingenieur, Erfinder und Maler, um dessentwillen sich die mächtigen Häupter Europas erbittert befehden.

1451. Ebenfalls in Italien kommt ein Jahr zuvor Christoph Kolumbus zur Welt. In Genua, wie viele Experten glauben. Aber weder was seinen Geburtsort noch was sein Geburtsjahr betrifft, herrscht Gewissheit. Sicher ist nur, dass Kolumbus eines Tages an die portugiesische Küste gespült wird. Sein Schiff war bei einer Seeschlacht mit Piraten gesunken. War Kolumbus das Opfer eines Überfalls? Oder hat er etwa selbst auf Seiten der Freibeuter gestanden? Der Mann mit der rätselhaften Herkunft schweigt dazu. Wie zu vielen anderen Details seines Lebens. Nicht einmal ein authentisches Porträt ist überliefert. Niemand weiß, wie der einstige Großadmiral und Vizekönig tatsächlich ausgesehen hat.

Eines der größten technischen Genies aller Zeiten und einer der größten Entdecker seiner Epoche - beide mit weniger als ungünstig zu nennenden Starts in ein Leben am Beginn einer zaghaften Neuzeit. Kann es sein, dass sie nicht voneinander gewusst haben? Sollte Leonardo rein zufällig in mehreren seiner Gemälde tomatenrote Farben verwendet haben? Das Rot einer Frucht aus der neuen Welt? Und sollte Kolumbus ebenso zufällig auf seinen Schiffen immer wieder den Flug der Vögel beobachtet haben, ohne von den Fluggeräten zu wissen, die Leonardo entworfen hatte?

Ein sensationeller neuer Fund weckt Zweifel an diesen merkwürdigen Zufällen. Auf dem Boden einer Pizzaschachtel entdeckten kürzlich ein genuesischer Junge mit Namen Leonardo und seine Schwester Lisa ein altes Pergament. Eine Landkarte mit 16 in regelmäßigen Abständen quadratisch angeordneten Inseln. Sofort alarmierte Fachleute von der Universität von Middlesix in Ohio sind sich einig: Die Karte zeigt das karibische Kubus-Archipel. Eine Inselgruppe, auf der eindeutige Hinweise für eine Entdeckung durch Christoph Kolumbus sprechen. So berichten Einheimische von mehreren Bäumen, in deren Rinde die Worte "Ich war hier - C.K." eingeritzt sind.
Neben der Karte befindet sich eine Reihe von Anweisungen, die in Spiegelschrift geschrieben sind. Darunter die Sätze "An der nächsten Insel bitte links abbiegen", "Bitte schräg rechts segeln", "Bei nächster Gelegenheit halsen" und "In zwei Seemeilen wird eine Flaute angezeigt. Möchten Sie das Hindernis umfahren?" Spiegelschrift war eine Spezialität von Leonardo da Vinci. Haben Kolumbus und da Vinci gemeinsam diese Karte entworfen?

In einer Pressemitteilung skizziert das Institut für aberkannte Mythologie der Universität von Middlesix ein denkbares Szenario. Danach hat Kolumbus in der unerforschten Karibik ein innovatives Navigationssystem von Leonardo getestet. Für so eine Probe gibt es bis heute kein geeigneteres Gebiet als das Kubus-Archipel, dessen Inseln jeweils exakte zwei Seemeilen Abstand zu ihren nächsten Nachbarn haben. Die Aufgabe für Kolumbus wird gelautet haben, so viele Dreiecke mit unterschiedlichem, jedoch ganzzahligem Flächeninhalt zu segeln wie möglich. Noch weiß niemand, wie viele verschiedene Dreiecke das sein könnten und wie groß jeweils deren Flächeninhalte wären. Ein Grund, weshalb die erste Reise des Kolumbus so lange gedauert hat? Gelingt es Ihnen, die Antworten schneller zu ermitteln? Vielleicht sogar ohne Karavellen, nur mit Bleistift und Papier?
Haben Sie herausgefunden, welche Manöver Christoph Kolumbus seinerzeit im Kubus-Archipel gesegelt ist? Gibt es wirklich eine bis dato unbekannte Verbindung zu Leonardo da Vinci? Fragen über Fragen. Wenigstens einige Rätsel konnten wir für Sie lösen.
Gesucht sind Dreiecke, die durch die Inseln des Kubus-Archipel aufgespannt werden und zudem einen ganzzahligen Flächeninhalt besitzen. Dabei interessiert uns vor allem, wie viele solche Dreiecke mit unterschiedlichem Flächeninhalt es gibt.

Das kleinste Dreieck wird sicherlich durch drei "über Eck" benachbarte Inseln aufgespannt. Die Fläche lässt sich über folgende Formel berechnen:

Fläche = Grundseite·Höhe/2

Da der Abstand der Inseln jeweils 2 Seemeilen entspricht, ergeben sich 2 Quadrat-Seemeilen für die umfahrene Fläche. Das größte Dreiecke wird entsprechend durch die drei am weitest entfernten Inseln beschrieben, die an den Ecken des Archipels sitzen. Hier berechnen wir eine Fläche von 18 Quadrat-Seemeilen.

Neben diesen beiden Dreiecken gibt es vier weitere rechtwinklige Dreiecke, deren Flächeninhalte sich nach obiger Formel schnell berechnen lassen. Die Flächeninhalte sind hier 4, 6, 8 und 12 Quadrat-Seemeilen.

Durch etwas Ausprobieren finden wir auch Dreiecke mit dem Flächeninhalt 10, 14 beziehungsweise 16 Quadrat-Seemeilen (siehe Abbildung). Berechnen lässt sich deren Fläche beispielsweise über den Satz des Heron:

F = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

s = (a+b+c)/2

Hier sind a, b und c die Seiten des Dreiecks, und s ist sein halber Umfang. Die Seiten lassen sich wiederum über den Satz des Pythagoras aus der Lage der Inseln in dem xy-Raster ermitteln.

Insgesamt gibt es also 9 Dreiecke mit unterschiedlichen, ganzzahligen Flächeninhalten, die durch die Inseln des Archipels aufgespannt werden.

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