Mathematische Knobelei: Seelenpoker
Ein Unglück kommt selten allein. Was daran liegt, dass auch unter den Sensenmännern ein gestiegener Konkurrenzdruck herrscht. Das macht die Preise kaputt und destabilisiert den gesamten Markt. Höchste Zeit für festgelegte Quoten. Doch bevor die verbindlich festgelegt sind, gibt es ein großes Hauen und Stechen unter den Fährleuten am letzten Jordan.
In Ordnung. Kurzer Zwischenstand: Alle Menschen, deren fortlaufende Seriennummer eine Primzahl ist, gehen an den Schwarzen Mann. Es sei denn, die Zahl ist eine Potenz von zwei - in diesem Fall erhält das Monster unter dem Bett den Zuschlag. Die Spinne in der Yukka-Palme bekommt Träger, deren Ziffernfolge in den ersten eintausend Nachkommastellen von Pi enthalten ist. Die Vereinigung der Untoten erhält den Zuschlag für palindromische Nummern. Wie mit Zahlen aus lauter Sechsen zu verfahren ist, wird im Anschluss an diese Sitzung gesondert diskutiert, da sowohl die Herren aus der Unterwelt als auch die gestürzten Engel diesbezüglich Ansprüche geltend gemacht haben. Können wir dann fortfahren? Ja, bitte! Die Folterknechte haben das Wort.
Wir fordern die Rechte an allen Nummern, die durch Vier teilbar sind!
Aber nicht doch! Darf ich Sie darauf aufmerksam machen, dass ein so großes Kontingent nicht an eine einzelne Gruppe vergeben werden kann?
Warum nicht? Schließlich teilen wir unsere Klientel seit Jahrhunderten in vier Teile. Schon alleine wegen des Wiedererkennungswertes und der Corporate Identity...
Ihre betriebsinternen Gepflogenheiten in Ehren, aber Sie werden verstehen, dass auch die Vertreter der Aasgeier, der bösen Naturgeister und der gealterten Fernsehmoderatoren noch berücksichtigt werden müssen.
Dann eben alle Zahlen mit der Quersumme 8. Womöglich ließen sich in unserem Arbeitsprozess noch einige Ansatzpunkte an unseren Klienten finden und ein entsprechender Relaunch starten.
Immer noch zu viele. Sie scheinen zu vergessen, dass ihre Marktnische gegenwärtig nur von den Kettensägenmördern mit umweltfreundlichem Solarwerkzeug unterboten wird.
Dann ... alle Zahlen mit Quersumme 8, in denen keine 0 enthalten ist. - Unser letztes Angebot. Sonst lassen wir die Konferenz platzen.
Quersumme Acht, keine Nullen... Hmm, ja. Das scheint mir ein vernünftiger Vorschlag zu sein. Gibt es irgendwo Widerspruch? ... Das ist nicht der Fall. Dann gehen alle Menschen, deren Seriennummer eine Quersumme von Acht und keine Null aufweist, an die Folterknechte.
Schreiberling! Rechnen Sie mal eben aus, wie viele arme Kreaturen damit zu Kunden dieses traditionsreichen Berufsstandes geworden sind.
Wir fordern die Rechte an allen Nummern, die durch Vier teilbar sind!
Aber nicht doch! Darf ich Sie darauf aufmerksam machen, dass ein so großes Kontingent nicht an eine einzelne Gruppe vergeben werden kann?
Warum nicht? Schließlich teilen wir unsere Klientel seit Jahrhunderten in vier Teile. Schon alleine wegen des Wiedererkennungswertes und der Corporate Identity...
Ihre betriebsinternen Gepflogenheiten in Ehren, aber Sie werden verstehen, dass auch die Vertreter der Aasgeier, der bösen Naturgeister und der gealterten Fernsehmoderatoren noch berücksichtigt werden müssen.
Dann eben alle Zahlen mit der Quersumme 8. Womöglich ließen sich in unserem Arbeitsprozess noch einige Ansatzpunkte an unseren Klienten finden und ein entsprechender Relaunch starten.
Immer noch zu viele. Sie scheinen zu vergessen, dass ihre Marktnische gegenwärtig nur von den Kettensägenmördern mit umweltfreundlichem Solarwerkzeug unterboten wird.
Dann ... alle Zahlen mit Quersumme 8, in denen keine 0 enthalten ist. - Unser letztes Angebot. Sonst lassen wir die Konferenz platzen.
Quersumme Acht, keine Nullen... Hmm, ja. Das scheint mir ein vernünftiger Vorschlag zu sein. Gibt es irgendwo Widerspruch? ... Das ist nicht der Fall. Dann gehen alle Menschen, deren Seriennummer eine Quersumme von Acht und keine Null aufweist, an die Folterknechte.
Schreiberling! Rechnen Sie mal eben aus, wie viele arme Kreaturen damit zu Kunden dieses traditionsreichen Berufsstandes geworden sind.
Das Geschacher um die Seelen der Sterblichen im Jenseits nimmt bizarre Züge an. Die Folterknechte fordern ihr Recht, wenngleich sie ihre Bedeutung in unserer Zeit etwas überschätzen.
Die Folterknechte haben den Zuschlag für die Seelen aller Menschen bekommen, deren Seriennummer die Quersumme 8 liefert und keine Null enthält. Aber wie viele arme Zeitgenossen sind davon betroffen?
Die kleinstmögliche Zahl ist die 8. Die größtmögliche offensichtlich die 11111111. Es gibt also jeweils genau eine 1- und eine 8-stellige Zahl. Aber wie sieht es mit den mehrstelligen Zahlen dazwischen aus?
Machen wir mit den 2-stelligen Zahlen weiter. Betrachten wir zunächst nur die möglichen Ziffern. Offenbar erfüllen die Ziffernkombinationen (1,7), (2,6), (3,5) und (4,4) die Bedingungen. Wie viele Zahlen lassen sich daraus kombinieren? Sind die beiden Ziffern unterschiedlich (a, b), dann gibt es jeweils 2 Möglichkeiten, nämlich ab und ba. Sind sie gleich bleibt nur eine Möglichkeit: aa. Insgesamt gibt es also 7 2-stellige Zahlen.
Weiter geht's mit den 3-stelligen Zahlen. Die möglichen Ziffernkombinationen lauten (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (2,2,4) und (2,3,3). Die Zahlen haben also entweder die Form: abc oder aab. Die Anzahl der Anordnungen (Permutationen) von n verschiedenen Elementen (Fall abc) beträgt n! - in diesem Fall also 3!=6.
Für die Anzahl der Permutationen von n Elementen, die sich in k Gruppen mit je l1, l2, ..., lk gleichen Elementen aufteilen lassen, gilt:
n!/(l1·l2·l3...lk)
In diesem Fall erhalten wir also:
3!/2! = 3
Auf ähnliche Weise suchen wir weiterhin die möglichen Ziffernkombinationen für die 4-, 5-, 6- und 7-stelligen Zahlen, und berechnen anschließend damit jeweils die Zahl der Anordnungen. Zusammengefasst erhalten wir folgendes Ergebnis:
Die Zahl der potenziellen Seelen ist mit 128 also durchaus überschaubar. Und bedenkt man, dass die 8stelligen Seriennummern schon längst verbraucht sein dürften, dann können sich die Folterknechte wohl kaum über neue Kundschaft in ihrem finsteren Winkel der Unterwelt freuen. Kein Beruf mit Zukunft also.
Die kleinstmögliche Zahl ist die 8. Die größtmögliche offensichtlich die 11111111. Es gibt also jeweils genau eine 1- und eine 8-stellige Zahl. Aber wie sieht es mit den mehrstelligen Zahlen dazwischen aus?
Machen wir mit den 2-stelligen Zahlen weiter. Betrachten wir zunächst nur die möglichen Ziffern. Offenbar erfüllen die Ziffernkombinationen (1,7), (2,6), (3,5) und (4,4) die Bedingungen. Wie viele Zahlen lassen sich daraus kombinieren? Sind die beiden Ziffern unterschiedlich (a, b), dann gibt es jeweils 2 Möglichkeiten, nämlich ab und ba. Sind sie gleich bleibt nur eine Möglichkeit: aa. Insgesamt gibt es also 7 2-stellige Zahlen.
Weiter geht's mit den 3-stelligen Zahlen. Die möglichen Ziffernkombinationen lauten (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (2,2,4) und (2,3,3). Die Zahlen haben also entweder die Form: abc oder aab. Die Anzahl der Anordnungen (Permutationen) von n verschiedenen Elementen (Fall abc) beträgt n! - in diesem Fall also 3!=6.
Für die Anzahl der Permutationen von n Elementen, die sich in k Gruppen mit je l1, l2, ..., lk gleichen Elementen aufteilen lassen, gilt:
n!/(l1·l2·l3...lk)
In diesem Fall erhalten wir also:
3!/2! = 3
Auf ähnliche Weise suchen wir weiterhin die möglichen Ziffernkombinationen für die 4-, 5-, 6- und 7-stelligen Zahlen, und berechnen anschließend damit jeweils die Zahl der Anordnungen. Zusammengefasst erhalten wir folgendes Ergebnis:
| Stellen | mögliche Ziffern | Anzahl Zahlen |
| 1 | 8 | 1 |
| 2 | (1,7), (2,6), (3,5), (4,4) | 2 + 2 + 2 + 1 = 7 |
| 3 | (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (2,2,4), (2,3,3) | 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21 |
| 4 | (1,1,1,5), (1,1,3,3), (1,1,2,4), (1,2,2,3), (2,2,2,2) | 4 + 6 + 12 + 12 + 1 = 35 |
| 5 | (1,1,1,1,4), (1,1,1,2,3), (1,1,2,2,2) | 5 + 20 + 10 = 35 |
| 6 | (1,1,1,1,1,3), (1,1,1,1,2,2) | 6 + 15 = 21 |
| 7 | (1,1,1,1,1,1,2) | 7 = 7 |
| 8 | (1,1,1,1,1,1,1,1) | 1 = 1 |
| Summe: | 128 |
Die Zahl der potenziellen Seelen ist mit 128 also durchaus überschaubar. Und bedenkt man, dass die 8stelligen Seriennummern schon längst verbraucht sein dürften, dann können sich die Folterknechte wohl kaum über neue Kundschaft in ihrem finsteren Winkel der Unterwelt freuen. Kein Beruf mit Zukunft also.
Das mathematische Problem stammt von Univ.-Prof. Dr. Gerd Baron und Dr. Richard F. Mischak. Weitere Aufgaben finden Sie auf den Seiten des Wettbewerbs Jagd auf Zahlen und Figuren. Die erzählerische "Verpackung" gestaltete Dr. Olaf Fritsche.
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