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Mathematische Knobelei: Tödlicher Alleingang

Jede Stadt hat ihre dunklen Ecken. Und ihre heimlichen Helden, die dafür sorgen, dass rechtschaffene Bürger nachts ruhig schlafen können. Die bösen Buben aber sind selbst vor ihresgleichen nicht immer sicher.
Schon möglich, dass Sie Wassilij nicht mögen. Viele Leute mögen ihn nicht. Und das nicht allein deshalb, weil er eine Ente ist. Kaum eine Familie im Lower West End von Middlesix, von der nicht wenigstens ein Mitglied seinen Napf auf Staatskosten gefüllt bekommt. Wassilijs Verdienst. Wenn er in seinem schmuddeligen Armani-Zweireiher um die Ecke biegt, im Schnabel die unvermeidliche Chili-Schote, schleichen sich die beißwütigen Pitbulls von der Straße, und die ungelegten Kanarien-Eier prüfen nach, ob sie auch ein kugelsicheres Alibi haben. Wen soll es da wundern, dass auch Sie nicht gut auf Wassilij zu sprechen sind?

Ich für meinen Teil habe so viel Zeit mit Wassilij verbracht, dass ich mich manchmal kratze, wenn sein Bürzel juckt. Ich bin zwar nur eine Maus, aber zugleich sein treuer Schatten. Seine rechte Hand, und wenn es sein muss, auch die linke. Schon klar: Ohne mich wäre Wassilij immer noch Wassilij. Und ohne ihn wäre ich kaum mehr als ein nagender Hauch heißer Luft. Dennoch können Sie davon ausgehen, dass auch ich nicht weit bin, wenn Wassilij in der Nähe ist. Niemals.

So wie an diesem Vormittag. Die Vorhänge wehen sanft im Wind der wummernden House-Musik. Sie verwehren den Blick nach draußen, auf die halb verfallenen Wohnsilos, um deren Wände selbst Graffiti-sprühende Kanalratten einen tristen Bogen machen. Oder nach drinnen. So dass selbst eine dieser heimtückischen Stechmücken keinen Blick auf Sir John werfen kann. Oder auf das, was von ihm übrig ist – ein Bein, ein Auge, ein Saugrüssel. Selbst mein kleiner Mäuseverstand kann sich aus diesen Resten ausrechnen, dass Sir John tot ist. So tot, wie nur ein Floh sein kann, den sein Mörder in seine Einzelteile zerlegt hat.

"Wann ist das passiert?"
Wassilij blickt nicht von der Leiche auf, während er spricht. Er lässt die Chili-Schote im Schnabel die Seite wechseln. Inzwischen mache ich die notwendigen Aufnahmen vom Opfer. Sir Johns Auge blickt tief in das Objektiv der Kamera, als ich abdrücke.
"Ich weiß nicht so genau", säuselt die grell geschminkte Siam-Katze. "Wissen Sie, Johnny-Boy war nicht direkt ein Kunde von mir."
Ich schüttle unmerklich den Kopf. Offenbar hat jemand die Dame vorgeschoben für den Plausch mit Wassilij. Und mindestens ebenso offenbar weiß sie nicht, welche Spielregeln für Gespräche mit dem Erpel einzuhalten sind. Nun, sie wird es nun lernen. Und niemals wieder vergessen.

Wassilij hebt langsam den Kopf. Bis auf die Länge eines Schnurrbarthaares tritt er an die Katze heran. Instinktiv sträubt sich ihr Nackenfell, doch sie bleibt tapfer auf ihrem Platz stehen. "Nicht der Mord!", faucht Wassilij sie an. Feine Speicheltröpfchen fliegen von seinem Schnabel und landen auf ihrer Nase. Das Capsaicin brennt sich in ihre Schleimhäute. Doch sie wagt es nicht aufzuschreien. "Ich rede davon!"
Mit ausgebreiteten Flügeln deutet Wassilij auf die Wand über dem Sofa, auf dem die Flohreste liegen. Eine Zahl prangt dort in großen, blutroten Ziffern. 23. Wassilij sieht auf die Zahl. Die Katze sieht auf die Zahl. Ich schieße schnell ein Foto von ihr. Sowohl von der Zahl, als auch von der Katze.

Wassilij rückt noch näher an die Siam. Seine Schnabelspitze berührt ihr zitterndes Ohr.
"Du hast wohl keine Ahnung, was diese Zahl bedeutet, Süße?“, flüstert er ihr zu.
Sie schüttelt den Kopf. Der Erpel macht ihr Angst. Wassilij genießt das. Wie alle Enten erliegt er allzu leicht den Verlockungen der Macht. "Dann will ich es dir erklären, Schätzchen.“ Wassilij dreht sich schwungvoll um und schreitet zu der beschmierten Wand. "In diesen Mauern ist ein Feme-Urteil über den guten alten Sir John vollstreckt worden. Vielleicht war er zu gierig beim Blutsaugen. Vielleicht hat er einen Seitensprung zuviel riskiert. Das werden wir erst erfahren, wenn wir seine Mörder gefasst haben."
"Seine Mörder?“ Die Katze meldet sich zaghaft zu Wort. Ein weiteres Mal wundere ich mich still, welch unschuldige Naivität gelegentlich selbst in Gegenden wie dieser zu finden ist. "Sie meinen, es waren mehrere?“
Wassilij lächelt. "Oh, ja. Es waren mehrere. Seine gesamte Gang, vermute ich. Nur gemeinsam konnten sie ausreichende Mengen Blut auswürgen für diese Warnung.“ Er deutete auf die 23. "Denn sehen Sie: Flöhe sind organisierte Verbrecher. Sie schätzen es gar nicht, wenn einer von ihnen außerhalb der Gemeinschaft auf eigenen Sprungbeinen Geschäfte macht. Nur leider sieht selbst für einen Floh ein Floh aus wie der andere. Da fällt es schwer zu unterscheiden.“ Wassilij legt auf seine ihm eigene theatralische Art die Spitzen seiner Schwungfedern vor der Brust aneinander.
"Also sind sie nummeriert. Und damit es keine Verwechslungen mit den Mitgliedern anderer Gangs gibt, haben die Nummern jedes verkommenen Haufens die gleiche Quersumme. Sir John dürfte demnach zu den Flöhen der 23 gehört haben. Eine kriminelle Vereinigung, in der nunmehr ein Platz frei sein dürfte. Zumal die Gangs jede Zahl vergeben, in der keine Null vorkommt, deren Ziffern aber die jeweilige Quersumme ergeben.“
Schweigend betrachtet Wassilij die 23. Ehrfurchtsvoll lasse ich meine Kamera sinken. Was ist schon die stupide Beweisaufnahme gegen das Genie dieses Geflügels?
"Wir werden Platz brauchen im Gefängnis“, sinniert Wassilij. "Viel Platz für viele Neuzugänge.“
"Wie viele Mörder waren es denn genau?“, wagt sich die Siam zu fragen.
Wassilij würdigt sie eines kurzen Blicks im Vorübergehen.
"Das verrät dir die Maus, Zuckerschnute“, raunt er und watschelt aus dem Raum.
Er lässt mich alleine mit der Katze und ihrer Frage. Mich – eine Maus. Ein piepsendes Nichts, das von Zahlen so wenig versteht wie von der Psyche einer Siam. Darum bitte ich Sie: Nennen Sie mir die Anzahl der Flöhe, die zur Gruppe 23 gehören und die Sir John auf abgeschmackte Weise seziert haben. Bevor Wassilijs Aura aus diesem Raum schwindet, in dem bereits ein Mord geschehen ist und in welchem nun eine Katze und eine Maus einander gegenüber stehen.
Die Maus wird schon einen langen Atem brauchen, denn so schnell sind die Flöhe nicht gezählt.
Sehen wir uns einmal ein paar Quersummen an. Die Quersumme 1 ergibt sich nur aus der Zahl 1. Die Quersumme 2 ist in der 2 und der 11 enthalten, die Gang mit der Nummer 2 hätte damit zwei Mitglieder. Die Quersumme 3 findet sich in den Zahlen 3, 12, 21 und 111, das sind vier Mitglieder, die Gang mit der Nummer 4 schließlich hat acht Flöhe, denn 4 ist die Quersumme von 4, 13, 31, 22, 112, 121, 211 und 1111.
Das kann man nun in einer großen Tabelle systematisch zählen. Wenn man die Ziffern von 1 bis 9 nebeneinander schreibt und jeweils darunter, wie oft die Ziffer in der Zahl vorkommt, deren Quersumme 23 ergibt, werden es genau 887 Zeilen. Ziemlich viel Arbeit.

Es gibt aber eine elegantere Lösung. Der Schlüssel ist ziemlich lang und lautet:

a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3) + a(n-4) + a(n-5) + a(n-6) + a(n-7) + a(n-8) + a(n-9)

Das ist eine raffinierte, neunstufige Fibonacci-Folge. Für n=0 bis n=40 liefert die Folge die Zahlen 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16 272, 32 512, 64 960, 129 792, 259 328, 518 145, 1 035 269, 2 068 498, 4 132 920, 8 257 696, 16 499 120, 32 965 728, 65 866 496, 131 603 200, 262 947 072, 525 375 999, 1 049 716 729, 2 097 364 960.

Das Raffinierte ist: Mit der Einschränkung n ≥ 8 liefert diese rekursive Folge die Anzahl ganzer Zahlen die keine Null enthalten und deren Quersumme gleich n-8 ist. Eine zugegebenermaßen schwierige Lösung.
Testen wir die Formel doch mal für Gangstergruppe 4. Die Quersumme ist also 4 = n - 8, das gibt n=12. Und a(12) = a(11) + a(10) + a(9) + a(8). Nun ist a(8) = 1und a(9) = a(8) = 1. Damit ist a(10) = 2, a(11) = 4 und a(12) schließlich 4 + 2 + 1 + 1 = 8. Die Probe stimmt also. Und mit Mathematica oder auch Excel VBA kann man dann leicht ausrechnen: a(23) = 4 132 920Fertig? Moment noch. Sir John ist ja tot, einer fehlt also, womit das Ergebnis schließlich 4 132 919 lautet. Ob die Maus das überlebt hat?

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