Dreiecke sind wichtig! Sie sind einfach zu zeichnen und bieten dennoch unzählige Anwendungsbeispiele. Mit der Trigonometrie hat die Mathematik eine Disziplin, die sich nur damit beschäftigt, die Beziehungen zwischen den Winkeln und Seiten von Dreiecken zu untersuchen.

Auf der Erde verwenden wir die Trigonometrie zum Beispiel, um Land zu vermessen; am Himmel brauchen wir die Dreiecke, wenn wir die Positionen von Sternen bestimmen wollen (was lange Zeit die Grundlage für die Navigation war). Und vielleicht am wichtigsten: Lässt man die reine Geometrie hinter sich und betrachtet die Anwendungen von Winkelfunktionen wie dem Sinus oder Kosinus, dann ist die Bedeutung des Dreiecks kaum zu übersehen.

Man benötigt aber natürlich Formeln für die Berechnung der Winkel und Seiten. Die bekannteste Dreiecksformel ist vermutlich der Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². Kennt man die Länge von zwei Seiten, folgt daraus direkt die Länge der dritten. Aber was macht man, wenn das Dreieck keinen rechten Winkel hat? Dann nimmt man diese Formel:

a, b und c bezeichnen hierbei die Seiten des Dreiecks und γ ist der Winkel zwischen den Seiten a und b. Analog dazu lassen sich auch Formeln mit den Winkeln α und β bilden.

Diesen »Kosinussatz« haben alle in der Schule gelernt, aber die wenigsten werden dort auch erfahren haben, woher diese Formel stammt: vom persischen Mathematiker und Astronom Dschamschid Masʿud al-Kaschi. Er wurde 1380 im heutigen Iran geboren und arbeitete zunächst als Arzt. Sein Interesse für Astronomie und Mathematik musste er in seiner Freizeit ausleben. Al-Kashi lebte im Timuridenreich, dessen Herrscher Tamerlan aber 1405 starb. Sein Sohn und Nachfolger Schāh Ruch war ein großer Freund und Förderer der Wissenschaften. Zusammen mit seiner Frau Gauhar-Schad sorgte er für ein Wiederaufleben der Forschung in Persien, und ihr Sohn Ulugh Beg gründete 1417 eine Madrasa (eine Art Universität) in Samarkand. An dieser Forschungseinrichtung sammelte er die besten Gelehrten des Landes, unter denen al-Kashi war.

Der hatte damals schon sein Buch »Sullam al-sama’« geschrieben, was so viel wie »Treppe zum Himmel« bedeutet. In diesem hat er sich mit der Größe der Himmelskörper und ihren Abständen beschäftigt. Er hatte auch schon einen Sternkatalog verfasst und an der Madrasa in Samarkand widmete er sich jetzt der Mathematik.

1424 konnte er den Umfang des Einheitskreises (also das Doppelte der Kreiszahl π) mit einer Genauigkeit von 15 Nachkommastellen berechnen – eine Leistung, die erst Ende des 16. Jahrhunderts Ludolph van Ceulen übertreffen konnte. Mit derselben Genauigkeit berechnete al-Kashi Winkelfunktionen wie den Wert sin(1°) und entwickelte Methoden zur iterativen Lösung von Gleichungen.

Und er hat das formuliert, was wir heute als Kosinussatz kennen. Das Wissen um die Berechnung von Dreiecken war in der persischen Mathematik schon vorhanden, aber al-Kashi hat als Erster systematisch alle relevanten Rechenschritte zusammengefasst und formalisiert.

Ein blinder Fleck

Al-Kashi hat an der Madrasa in Samarkand nicht nur geforscht, sondern auch unterrichtet. Er hat Lehrbücher über Landvermessung, Astronomie oder Architektur geschrieben. Er baute auch astronomische Instrumente und Geräte (die man heute als analoge Computer bezeichnen würde), um die Positionen von Planeten zu berechnen.

Angesichts all dieser Leistungen sollte er heute so bekannt sein wie Pythagoras, Thales von Milet oder Leonardo Fibonacci. Aber in der westlichen Welt neigen wir leider dazu, die islamisch-persischen Forscher zu ignorieren. Wir gestehen ihnen zu, dass sie die Werke der Antike übersetzt und damit am Leben gehalten haben, übersehen jedoch die Vielzahl an eigenständigen Forschungsergebnissen, die von ihnen gewonnen wurden. Ich jedenfalls werde den Kosinussatz ab jetzt als »Satz von al-Kashi« bezeichnen.