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Freistetters Formelwelt: Alles fließt!

Eine mathematische Gleichung kann ein einzelnes, sehr spezielles Phänomen beschreiben. Oder eine ganze Welt. Für die Navier-Stokes-Gleichungen gilt das Letztere: Sie sind ebenso umfassend wie relevant für uns. Und trotzdem immer noch ungelöst.
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Man kann einer mathematischen Gleichung nicht ansehen, ob sie kompliziert zu lösen ist oder nicht. Ebenso wenig hängt ihre Bedeutung mit ihrer Komplexität zusammen. Albert Einsteins E = mc2 ist weder schwer zu verstehen noch schwer zu lösen. Trotzdem hat die durch diese Formel aufgedeckte Erkenntnis unsere Welt unzweifelhaft dramatisch verändert.

Das gilt auch für die Navier-Stokes-Gleichungen:

Die Navier-Stokes-GleichungenLaden...
Navier-Stokes-Gleichungen

Hier sieht man schon auf den ersten Blick, dass man es mit sehr komplexen Zusammenhängen zu tun hat. Die Gleichungen existieren in verschiedenen Versionen – die oben aufgeführte bezieht sich auf die Bewegung inkompressibler Fluide mit der Geschwindigkeit v, dem Druck p, der Dichte ρ0 und der Viskosität ν. Das klingt eher technisch und abstrakt. Es wird aber sehr schnell anschaulich, wenn man anstatt »Fluid« die Begriffe »Flüssigkeit« oder »Gas« verwendet. Die Formeln beschreiben ihr Verhalten und wurden im 19. Jahrhundert von den Mathematikern Claude Louis Marie Henri Navier und George Gabriel Stokes aufgestellt.

Die Relevanz dieser Gleichungen geht jedoch weit über die Mathematik hinaus. Strömungen sind überall: in der Materie, die in der Umgebung eines Milliarden Lichtjahre entfernten Schwarzen Lochs herumwirbelt, ebenso wie bei der Betrachtung des Fahrtwinds, der ein Auto hier auf der Erde umströmt. Man muss Strömungen untersuchen, wenn es um die Entstehung von Planeten geht, um den effektiven Betrieb eines Flugzeugs oder den Transport von Pollen durch die Atmosphäre der Erde.

Ohne ein vernünftiges Verständnis von Strömungen in Gasen und Flüssigkeiten sind große Bereiche der Naturwissenschaft nicht mehr praktizierbar. Das gilt vor allem für die Untersuchung unseres Klimas. Hier wirken die Strömungen in der Luft und den Ozeanen zusammen; Gase und Flüssigkeiten mischen sich und wechselwirken miteinander. Mit den Navier-Stokes-Gleichungen kann man das Verhalten dieser Strömungen mathematisch modellieren. Diese Computersimulationen sind mittlerweile extrem genau, stellen aber trotz allem keine exakte Lösung der Gleichungen dar. Ob diese mathematischen Ausdrücke überhaupt klar definierte und exakte Lösungen haben, ist bis heute unbekannt.

Das rätselhafte Chaos

Der Grund dafür ist das Phänomen der Turbulenz, das so gut wie immer auftritt, wenn ausreichend komplexe Strömungen existieren. Die chaotischen Verwirbelungen und Durchmischungen haben sich bis jetzt allen Versuchen entzogen, in simple Formeln gefasst zu werden.

Angesichts der Relevanz, die ein ausreichend gutes Verständnis der klimatischen Vorgänge auf der Erde gerade heute für uns hat, ist auch verständlich, wieso die Navier-Stokes-Gleichungen so wichtig für uns sind. Die Computersimulationen von Wetter und Klima werden zwar mit steigender Rechnerleistung immer besser werden; eine exakte Lösung der Gleichungen – oder auch nur ein besseres mathematisches Verständnis der durch die sie beschriebenen Zusammenhänge – könnte uns allerdings völlig neue Einblicke in das Verhalten des Klimas liefern. Damit ließen sich klimatische Veränderungen dramatisch besser vorhersagen.

Die Suche nach der Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen steht daher zu Recht auf der Liste der vom Clay Mathematics Institute ausgeschriebenen »Millenium-Probleme«, für deren Auflösung ein Preisgeld von je einer Million Dollar versprochen ist. Die Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler bräuchten zwar keinen zusätzlichen finanziellen Anreiz, um sich dieser Aufgabe zu widmen. Aber es demonstriert sehr gut, welche wichtige Rolle diese Formeln in der Forschung spielen.

Vermutlich wird das Clay Mathematics Institute sein Preisgeld so schnell nicht auszahlen müssen. Doch es bleibt zu hoffen, dass die Suche nach einer Lösung zumindest unser Verständnis der Komplexität von Strömungen verbessert.

31/2019

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 31/2019

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