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Freistetters Formelwelt: Behaglich-beharrliche Berechnungen

Wer Mathematik betreibt, muss vor allem beharrlich sein. Manchmal dauert es Jahre oder Jahrzehnte, bis eine Aussage bewiesen oder eine Formel gefunden werden kann. Wen wundert es da noch, dass auch die Zahlen selbst beharrlich sein können?
Eine junge Frau sitzt in einem bequemen Sessel und arbeitet.Laden...

Quersummen von Zahlen sind nicht nur sehr simpel, sondern haben auch ganz praktische Anwendungen. Die Internationale Standardbuchnummer (ISBN) wurde bis zum Jahr 2006 zum Beispiel immer so vergeben, dass die Summe der zehn Ziffern, aus denen eine Nummer gebildet wird, restlos durch elf dividierbar ist. Die Berechnung der Quersumme zeigte also schnell, ob eine ISBN gültig ist oder nicht. Seit 2007 werden nur noch 13-stellige ISBN vergeben, die durch ein ähnliche, aber komplexere Quersummenrechnung geprüft werden können.

Das Querprodukt einer Zahl lässt sich ebenso einfach berechnen wie die Quersumme. Und auch wenn sich dafür weniger konkrete Anwendungsfälle ergeben, ist es rein mathematisch doch recht interessant. Betrachten wir zum Beispiel diese Rechnung:

Formel des QuerproduktsLaden...
Querprodukt

Analog zur Quersumme bildet man aus den Ziffern der Zahl ein Produkt. Das Ergebnis wird dann ebenso behandelt, bis man bei einer einzelnen Ziffer angelangt ist. Das ist immer nach einer endlichen Zahl von Schritten der Fall und wie lange es dauert, bis man am Ende ist, wird als »Beharrlichkeit« der Ausgangszahl bezeichnet.

Die beharrlichsten Zahlen

153 hat also eine multiplikative Beharrlichkeit von 2, und das letzte Ergebnis 5 wird als die multiplikative Ziffernwurzel bezeichnet. Die kleinste positive Zahl, deren Querprodukt gebildet werden kann, ist logischerweise die 10, die damit auch die kleinste Zahl ist, deren Beharrlichkeit 1 beträgt. Will man eine Zahl mit einer größeren Beharrlichkeit finden, muss man bis zur 25 gehen, und eine Beharrlichkeit von 3 findet man erst bei der 39 (3 · 9 = 27; 2 · 7 = 14, 1 · 4 = 4). Eine Zahl, deren Ziffern in nicht weniger als zehn Schritten bis zur multiplikativen Ziffernwurzel reduzierbar ist, findet man dagegen erst bei 3 778 888 999. Eine Beharrlichkeit von elf Schritten erreicht man bei 277 777 788 888 899.

Ob es auch Zahlen gibt, deren Beharrlichkeit größer als 11 ist, ist bis jetzt noch nicht bekannt. Es wird vermutet, dass dies nicht der Fall sein kann – und numerisch wurde das schon für eine enorm große Anzahl von Fällen geprüft. Wenn es sie gibt, dann müssen sie also extrem groß sein.

Die Berechnung iterativer Querprodukte und die Beschäftigung mit der Beharrlichkeit von Zahlen mag ein wenig nutzlos erscheinen, eine konkrete Anwendung ist daraus noch nicht erwachsen. Und tatsächlich sind viele der mathematischen Aufsätze zu diesem Thema in einer Zeitschrift mit dem Titel »Journal of Recreational Mathematics« erschienen. Es handelt sich also um Mathematik, die der Unterhaltung und Erholung dient. Und diesen Zweck sollte man keinesfalls vernachlässigen!

Als Astronom ist mir mehr als deutlich bewusst, was die Wissenschaft in dieser Hinsicht leisten kann. Nacht für Nacht packen überall auf der Welt Menschen ihre Teleskope aus und beobachten damit den Himmel. Nicht um astronomische Forschung zu betreiben, sondern einzig und allein aus Spaß an der Betrachtung des Kosmos. Die Hobbyastronomie ist für ihre Anhänger ebenso erhol- und unterhaltsam, wie es für andere ein Kinobesuch oder sportliche Aktivität ist.

Die Naturwissenschaft ist die Beschäftigung mit der Welt, in der wir leben. Das kann man mit wissenschaftlichen Anspruch ebenso wie aus reiner Faszination an der Erkenntnis tun. Und auch wenn die Mathematik oft in ihrer eigenen abstrakten Welt existiert, kann sie doch genauso zur Unterhaltung und Erholung dienen wie als wissenschaftliches Werkzeug. »Ernsthafte« Mathematik ist wichtig und das Fundament jeder seriösen naturwissenschaftlichen Forschung. Aber wenn man nicht nur forschen, sondern auch für die Forschung begeistern will, sollte man den Wert der »Unterhaltungsmathematik« keinesfalls unterschätzen.

19/2019

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 19/2019

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