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Freistetters Formelwelt: Das faule Universum

Sich selbst überlassen, suchen sich die Dinge immer den energetisch günstigsten Zustand. Dieses fundamentale Prinzip lässt sich mit einer simplen Schnur demonstrieren.
Schnurtelefon

Man nehme ein Seil, befestige es an zwei Punkten (die nicht direkt übereinanderliegen) und beobachte, was dann passiert. Die Form, die das hängende Seil unter dem Einfluss der Schwerkraft annimmt, lässt sich jedenfalls immer durch diese Formel beschreiben:

Frei hängendes Seil
Frei hängendes Seil

Die Funktion cosh ist der Kosinus hyperbolicus, also der gerade Anteil der Exponentialfunktion, die sich – zusammen mit dem Gegenstück des Sinus hyperbolicus (sinh) – auch so schreiben lässt: ex = sinh x + cosh x. Der Kosinus hyperbolicus beschreibt aber auch (in Abhängigkeit eines Skalierungsfaktors a) die Form eines frei hängenden Seils, weswegen seine grafische Darstellung häufig als »Kettenlinie« bezeichnet wird.

Die Frage nach der Form so einer hängenden Kette hat schon Galileo Galilei beschäftigt. Er stellte fest, dass sie mit einer Parabel angenähert werden kann. Der deutsche Mathematiker Joachim Jungius konnte 1639 aber zeigen, dass die Form keine Parabel ist. Doch wie man die Kettenlinie tatsächlich mathematisch beschreiben kann, wusste er nicht. Erst 1691 gelang es Gottfried Wilhelm Leibniz, Christiaan Huygens und Johann Bernoulli auch dank der kurz zuvor neu entwickelten Infinitesimalrechnung, die mathematische Gleichung abzuleiten, die eine Kettenlinie korrekt beschreibt.

Man erhält diese Gleichung, wenn man nach der Position sucht, in der das Seil die kleinstmögliche potenzielle Energie hat. Lässt man die Kettenlinie im Raum rotieren, erhält man eine Fläche: das Katenoid. 1744 konnte Leonard Euler beweisen, dass es sich dabei um eine Minimalfläche handelt, also eine Fläche, deren Flächeninhalt lokal minimal ist (so wie die Flächen, die zum Beispiel sich selbst überlassene Seifenblasen einnehmen).

Die Eigenschaft der Natur, energetisch immer die günstigsten Zustände zu wählen, haben sich die Menschen in vielerlei Hinsicht zu Nutze gemacht. Der englische Gelehrte Robert Hooke erklärte 1671, wie man Bogen in der Architektur seiner Meinung nach optimal konstruiert. Dazu nimmt man eine Kettenlinie und stellt sie einfach auf den Kopf. Die Punkte, an denen die Kette aufgehängt ist, entsprechen dann den Punkten, an denen der Bogen den Boden berührt. Ein Bogen mit gleichförmiger Dichte und Dicke, der nur sein eigenes Gewicht tragen muss, hat tatsächlich dann die optimale Form, wenn er einer invertierten Kettenlinie entspricht. Dann kann der Bogen die nach unten wirkende Gravitationskraft in eine entlang der Bogenkurve wirkende Kompressionskraft umleiten.

Dieses Prinzip hat sich unter anderem der spanische Architekt Antonio Gaudi zu Nutzen gemacht. Sein Statikmodell der Sagrada Familia in Barcelona besteht aus jeder Menge Schnüren, die von der Decke herabhängen und die projektierte Form der Kathedrale in umgekehrter Form nachbilden.

Aber auch die Kuppel der St Paul's Kathedrale in London basiert auf umgekehrten Kettenlinien, ebenso der Querschnitt des Budapester Ostbahnhofs. Man findet Kettenlinien bei Seilbrücken wie bei den hängenden Leitungen von Stromtrassen oder bei Spinnennetzen. Die traditionellen, aus Lehm und Gras gefertigten Musgum-Hütten in Kamerun folgen Kettenlinien; ebenso die Schneehäuser der Menschen im nördlichen Polargebiet. Wenn Schnee und Eis im Lauf der Zeit komprimiert werden, dann stellt die energetische Besonderheit der Kettenlinie sicher, dass die dabei entstehenden Kräfte nicht zu Verformungen führen, sondern den Druck entlang der Form ableiten. Iglus sind also – zumindest aus mathematischer Sicht – wahrhafte Niedrigenergiehäuser!

Ich persönlich bin immer wieder aufs Neue fasziniert von dieser fundamentalen Faulheit des Universums. Es ist höchst erstaunlich, welche weit reichenden Konsequenzen sich daraus ergeben und wie sehr sie unseren Alltag beeinflussen.

42/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 42/2018

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