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Freistetters Formelwelt: Das hilfreiche Lemma

Nicht alles muss man neu beweisen. Manchmal nutzt man in der Mathematik auch praktische Bausteine, die sich sogar noch wiederverwenden lassen.
Die Ziffern 1, 2, 3 aus LEGO Steinen

»Alles, was man nimmt oder bekommt«: So wird das altgriechische Wort λῆμμα (lēmma) definiert (im »Handwörterbuch der griechischen Sprache« von Wilhelm Pape). Auf Deutsch sagt man dazu »Lemma«, und ich habe es das erste Mal im ersten Semester meines Studiums gehört. Dass es in der Mathematik »Sätze« und »Beweise« gibt, wusste ich damals schon; dass man zwischendurch aber auch das eine oder andere »Lemma« benötigt, war mir neu.

In der Mathematik steht das Wort nicht so sehr für eine Einnahme, sondern für eine Annahme, also einen wichtigen Gedanken oder eine spezielle Aussage, aus der man etwas folgern kann. Die Grenzen zu einem echten mathematischen Satz sind fließend, ein Lemma ist aber normalerweise eine Aussage, die man benötigt, wenn man einen Satz beweisen möchte, die aber nicht von der gleichen Bedeutung ist wie der Satz selbst.

Ein Beispiel für so einen »Hilfssatz« findet man in einem der ältesten mathematischen Werke. Proposition 30 in Buch VII von Euklids »Elemente« aus dem dritten Jahrhundert v. Chr. lautet (in moderner Notation):

Oder in normale Sprache übersetzt: Teilt eine Primzahl p das Produkt der beiden natürlichen Zahlen a und b, dann teilt sie auch eine der Zahlen a und b (oder beide). Wenn man etwa die Primzahl 23 betrachtet und die beiden Zahlen a = 165 und b = 138, dann ist das Produkt a·b = 22 770. Das ist durch 23 teilbar, also muss auch 165 oder 138 durch 23 geteilt werden können. In diesem Fall ist 6·23 = 138.

Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

Diese grundlegende Aussage über Zahlen hatte schon Euklid selbst bewiesen; sein Beweis war aber noch vergleichsweise kompliziert. Mittlerweile gibt es diverse neuere Beweise und »Euklids Lemma« wird beim Beweis vieler anderer mathematischer Sätze verwendet. Zum Beispiel beim Fundamentalsatz der Arithmetik – auch genannt »Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie« –, der besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 eindeutig als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann. Wozu das Lemma von Euklid hier nötig ist, kann man sich leicht am Beweis für die Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung ansehen.

Nehmen wir dafür spaßeshalber (und wer hat keinen Spaß an mathematischen Beweisen aus der Zahlentheorie?) mal an, es wäre nicht so. Und es gäbe Zahlen, die zwei unterschiedliche Primfaktorenzerlegungen haben. Dann muss es auch eine kleinste dieser Zahlen geben, die schließlich laut dieser Annahme durch zwei unterschiedliche Produkte aus Primzahlen berechnet werden kann. Es gilt also n = p1·p2…·pj = q1·q2…·qk, und ebenso muss dann gelten, dass q1·q2…·qk durch p1 geteilt wird.

Womit wir bei Euklids Lemma angelangt sind: Daraus folgt nun, dass mindestens ein qi – zum Beispiel q1 – ebenfalls durch p1 geteilt wird, und da es sich um Primzahlen handelt, können wir nur zu dem Schluss kommen, dass p1 und q1 identisch sind. Wir können sie also wegkürzen und gelangen zu dem Ergebnis, dass laut unserer Annahme die Gleichung n = p2…·pj = q2…·qk ebenfalls gelten muss. Nur dass dieses n nun eine kleinere Zahl als das n vom Beginn sein muss, welches aber laut Annahme schon die kleinste Zahl mit zwei unterschiedlichen Primfaktorenzerlegungen ist. Wir sind demnach bei einem Widerspruch angelangt, woraus folgt: Die ursprüngliche Annahme ist falsch und es kann keine Zahl geben, deren Primfaktorenzerlegung nicht eindeutig ist.

Man kann den Fundamentalsatz der Arithmetik auch ohne Euklids Lemma beweisen. Aber bei jedem etwas komplexeren Beweis wird man früher oder später irgendein Lemma verwenden müssen und vor allem wollen. Denn es ist durchaus praktisch, wenn man einen langen Beweis nicht am Stück abarbeiten muss, sondern relevante Zwischenschritte als eigenständige Sätze herausarbeitet und ihre Gültigkeit extra beweist. Dann hat man auf jeden Fall schon mal ein Ergebnis, selbst wenn der Beweis des eigentlichen Satzes scheitern sollte. Und wer weiß, wozu man so ein Lemma später noch mal brauchen kann?

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