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Freistetters Formelwelt: Das missverstandene Geschlecht

Gendern mal anders: Wer in der Mathematik das Geschlecht herausfinden möchte, zähle die Löcher in den Flächen.
Eine junge Frau führt mit einem Donut ein intensives Zwiegespräch über die Topologie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Anschließend wird sie ihn essen.

Die Topologie ist die mathematische Disziplin, die sich, vereinfacht gesagt, mit Formen beschäftigt. Genauer gesagt mit den Eigenschaften von Strukturen, die sich nicht ändern, wenn man sie verformt. So etwas nennt man topologische Invarianten, und zwei davon tauchen in dieser Formel auf:

Eulersche Charakteristik

Der griechische Buchstabe Χ bezeichnet die so genannte Eulersche Charakteristik. Überzieht man eine Fläche mit einem Gitter aus Dreiecken, dann berechnet sie sich aus Χ = E – K + F, wobei E die Anzahl aller Ecken, K die Anzahl aller Kanten und F die Anzahl der aller Dreiecke ist. Egal wie man diese Fläche verformt (vorausgesetzt die Verformung ist stetig, das heißt, man reißt sie zum Beispiel nicht auseinander), die Eulersche Charakteristik wird sich dabei nicht verändern. Ebenso wie die Zahl g – die in der Mathematik das Geschlecht einer Fläche genannt wird.

Betrachtet man eine kompakte Fläche, also eine Fläche, die abgeschlossen und beschränkt ist, und ist diese Fläche orientierbar, kann man ihr also eine Innen- und Außenseite zuweisen, dann hat sie auch ein Geschlecht. Mit dem, was man darunter im Alltag versteht, hat dieser Begriff hier allerdings nichts zu tun.

Um das Geschlecht einer Fläche zu bestimmen, sucht man die größtmögliche Anzahl von Schnitten entlang geschlossener Kurven auf der Fläche, die man machen kann, ohne dass die Fläche in nicht zusammenhängende Teile zerfällt. Die Oberfläche einer Kugel kann man zum Beispiel überhaupt nicht zerschneiden. Jeder Schnitt führt dazu, dass man am Ende zwei Teile hat. Das Geschlecht der Kugeloberfläche hat daher den Wert 0.

Ein Torus, also das, was man umgangssprachlich auch Donut nennen würde, hat dagegen das Geschlecht 1. Hier braucht es mindestens zwei Schnitte, um ihn in zwei nicht mehr zusammenhängende Stücke zu teilen. Das Gleiche gilt übrigens auch für die Form, die eine Kaffeetasse hat. Und da das Geschlecht eine topologische Invariante ist, folgt daraus, dass ein Donut und eine Kaffeetasse aus Sicht der Topologie nur Variationen der gleichen Form sind. Und tatsächlich ließe sich ein (ausreichend dehnbarer) Donut auch problemlos in eine Kaffeetasse umformen.

Ein Objekt in Form einer 8 hätte ein Geschlecht von 2 – selbst zwei Schnitte reichen hier nicht, um es zu zerteilen. Das Prinzip lässt sich in dieser Form fortsetzen und macht deutlich, dass hier vor allem die Löcher in den Flächen eine Rolle spielen. Die Oberfläche einer Kugel hat keine Löcher, ein Donut eins, ebenso wie eine Kaffeetasse (das Loch im Henkel). Die Acht hat zwei Löcher, eine Brezel drei (und damit auch ein Geschlecht von 3). Anschaulich ist sofort klar, wieso gerade die Löcher in der Topologie eine so fundamentale Rolle spielen. Durch stetige Verformung einer Fläche kann man ein Loch weder erzeugen noch verschwinden lassen. Egal was man mit etwa einem Donut anstellt – am Ende wird die neue Form immer noch genau ein Loch haben.

Eine andere Definition für das Geschlecht einer Fläche wäre also, es mit der Anzahl der Löcher einer Fläche gleichzusetzen. Das sollte man dann aber auf jeden Fall nur in einem ausreichend klar definierten mathematischen Kontext tun. Andernfalls wäre das Potenzial für Missverständnisse beträchtlich.

Eingeführt wurde der Begriff im Jahr 1864 vom deutschen Mathematiker Rudolf Friedrich Alfred Clebsch, um einem wichtigen Konzept in der Arbeit von Bernhard Riemann einen Namen zu geben. Heute allerdings ist Englisch die zentrale Sprache der Mathematik. Bei der Übersetzung hat man jedoch nicht »sex« gewählt, sondern sich am biologischen Gattungsbegriff orientiert und das weniger missverständliche »genus« verwendet.

37/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 37/2018

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