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Die fabelhafte Welt der Mathematik: Das Noether-Theorem: Die Schönheit in der Physik erkennen

Dass Größen wie Energie oder Impuls in physikalischen Betrachtungen erhalten bleiben, ist kein grundlegendes Prinzip – sondern hängt mit Symmetrien zusammen, wie uns die Mathematik lehrt.
Symmetrisch angeordnete Waffeln
Symmetrien spielen in der Physik eine wichtige Rolle. Das hat die Mathematikerin Emmy Noether deutlich gemacht.

Isaac Newton, Albert Einstein oder David Hilbert: Selbst über die Grenzen der Fachwelt hinaus sind die Namen der drei Mathematiker und Physiker bekannt – und das auch vollkommen zu Recht. Newton hat schließlich erstmals die Gesetze der Mechanik und der Schwerkraft beschrieben, Einstein hat unser Verständnis von Raum und Zeit auf den Kopf gestellt und Hilbert hat die moderne Mathematik entscheidend geprägt. Doch wenn man den Namen Emmy Noether nennt, schütteln viele Befragten die Köpfe: »Nein, noch nie gehört.« Schade, denn die Mathematikerin hat nicht nur in ihrem Fach eine entscheidende Rolle gespielt – auf ihren Erkenntnissen bauen auch die heute etablierten physikalischen Theorien auf: vom Standardmodell der Teilchenphysik hin zur Relativitätstheorie.

Was Noether erkannte, sollte den Blick auf die Physik revolutionieren: Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines Systems gibt es eine Erhaltungsgröße – also eine Größe, die über die Zeit unverändert bleibt. Betrachten Sie zum Beispiel ein Auto, das eine gerade Landstraße entlangfährt. Wie in der Physik üblich, gehen wir davon aus, dass die Räder auf der Straße keine Reibung erzeugen und ohne Motorenantrieb rollen: Es wurde einmal angeschubst und fährt ewig weiter. Wenn Sie das Fahrzeug um zehn Meter weiter nach vorne oder hinten verschieben, ändert sich nichts: Die Szene ist symmetrisch bezüglich Ortsverschiebungen. Laut Noethers Theorem gibt es daher eine Erhaltungsgröße – wie sich herausstellt, ist das der Impuls, also das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Das bedeutet, das Fahrzeug kann unmöglich aus dem »Nichts« an Geschwindigkeit gewinnen oder verlieren, denn der Impuls ist immer gleich. Wenn die Straße hingegen von Bergen und Tälern durchzogen ist, ändert sich die Situation. Wenn man das Fahrzeug in dieser Landschaft verschiebt, fährt es nun vielleicht einen Berg hinauf, obwohl es zuvor in ein Tal fuhr. Das System ist nun nicht mehr symmetrisch unter Ortsverschiebungen, und somit ist auch der Impuls nicht mehr erhalten: Auf dem Weg nach unten bewegt es sich schneller fort, während es aufwärts länger braucht.

Viele Menschen denken, Mathematik sei kompliziert und öde. In dieser Serie möchten wir das widerlegen – und stellen unsere liebsten Gegenbeispiele vor: von schlechtem Wetter über magische Verdopplungen hin zu Steuertricks. Die Artikel könnt ihr hier lesen.

Ein anderes Beispiel ist der elastische Stoß zweier Kugeln, eine beliebte Rechenaufgabe in den ersten Semestern des Physikstudiums. Dabei betrachtet man zwei Kugeln, die aufeinander zurollen, gegeneinanderknallen und sich dann voneinander wegbewegen. Eine typische Fragestellung dazu wäre: Angenommen, Kugel 1 hat die Masse m1 und bewegt sich mit der Geschwindigkeit v1, während sich Kugel 2 mit m2 und Geschwindigkeit v2 in entgegengesetzte Richtung auf erstere zubewegt. Welche Geschwindigkeiten haben beide Kugeln nach dem Stoß? Um diese Aufgabe zu lösen, nutzt man aus, dass die gesamte Energie und der gesamte Impuls vor und nach dem Stoß gleich sind. Sprich: Man setzt Energie- und Impulserhaltung voraus. Dass diese Voraussetzung tatsächlich gegeben ist, zeigt das Noether-Theorem. Die Physik des elastischen Stoßes hängt in diesem Fall von der Distanz beider Kugeln ab: Man kann sie beliebig verschieben; solange ihr Abstand gleich bleibt, ist die Situation dieselbe. Daher ist der Gesamtimpuls erhalten. Zudem bleiben die Abläufe gleich, auch wenn man für beide Kugeln die Zeit vor- oder zurückspult. Zu dieser zeitlichen Symmetrie gehört die Energie als Erhaltungsgröße.

Elastischer Stoß
Elastischer Stoß | Beim elastischen Stoß sind Energie und Impuls erhalten.

Es gibt weitere kontinuierliche Symmetrien: So sind etwa Satelliten, die unseren Planeten umfliegen, rotationssymmetrisch. Es spielt keine Rolle, wo sie sich im Orbit befinden, solange der Abstand zur Erde gleich bleibt. Die daraus resultierende Erhaltungsgröße ist der Drehimpuls. Darüber hinaus lassen sich viele andere Symmetrien und damit auch Erhaltungsgrößen ausmachen, die allerdings abstrakter sind: etwa eine Phase in der Wellenfunktion eines quantenmechanischen Objekts.

SymmetrieErhaltungsgröße
Verschiebung im RaumImpuls
Verschiebung in der ZeitEnergie
RotationDrehimpuls
Phasendrehung einer WellenfunktionLadungserhaltung

Das Beeindruckende an Noethers Arbeit: Sie ist ausschließlich mathematischer Natur. Anders als physikalische Gesetzmäßigkeiten handelt es sich beim Noether-Theorem um einen Satz, der formal bewiesen wurde. Solange wir also an die Grundlagen der Mathematik glauben, ist er ausnahmslos gültig. Das macht das Theorem extrem mächtig.

Eine Welt voller Symmetrien

Es ist immer wieder erstaunlich, dass rein mathematische Folgerungen handfeste Auswirkungen in der Physik haben. Als Emmy Noether ihre Arbeit 1918 veröffentlichte, waren viele Erhaltungsgrößen bereits bekannt. Man ging damals davon aus, sie seien elementar. Doch die Mathematikerin führte sie auf eine Folge von kontinuierlichen Symmetrien zurück und lenkte damit die Aufmerksamkeit der Forschergemeinde um. Nun suchten Physiker vermehrt nach Mustern in ihren Theorien – und fanden neue Erhaltungsgrößen. Die Folgen waren beeindruckend: In den 1950er und 1960er Jahren, als das Standardmodell der Teilchenphysik entwickelt wurde, konnten die Fachleute einige Elementarteilchen vorhersagen – allein auf Grund symmetrischer Überlegungen.

Symmetrien im Standardmodell | Wenn man die Elementarteilchen des Standardmodells nach bestimmten Eigenschaften ordnet, werden Symmetrien sichtbar.

Aber was steckt dahinter? Um die Überlegung Noethers nachzuvollziehen, muss man etwas mehr über die Grundlagen der theoretischen Physik erfahren. Wenn man in der Schule bestimmte Aufgaben rechnet – etwa die Bahnkurve von Planeten bestimmt oder die Wurfbahn eines Balls –, dann basiert das meist auf Kraftgleichungen, die man gleichsetzt (im ersten Fall setzt man beispielsweise die Gravitationskraft von zwei Körpern gleich der Masse mal Beschleunigung des Planeten und formt diese Gleichung um). Dadurch erhält man eine Bewegungsgleichung, also eine Formel, die besagt, wann sich das betreffende Objekt wo befindet. Im Studium lernt man aber eine andere Herangehensweise kennen, um solche Probleme zu lösen; diese beruhen statt auf Kräften auf Energien. Natürlich sind die Ansätze äquivalent und führen zu den gleichen Ergebnissen. Der Energie-Ansatz erweist sich aber in vielen Situationen als praktischer – zudem lässt er sich einfacher verallgemeinern. Das ist auch der Grund, warum man diesen heranzieht, um das Noether-Theorem zu beweisen.

Allerdings ist das Energie-Verfahren etwas abstrakter als der Ansatz des Kräftegleichgewichts; zudem braucht man Vorwissen im Bereich der Analysis, um die einzelnen Rechenschritte, die letztlich zu den Bewegungsgleichungen führen, nachzuvollziehen. Die grundlegende Idee ist hingegen simpel: Das Prinzip der stationären Wirkung besagt, dass die Natur faul ist. Wenn ein System von einem Zustand (zum Beispiel: Ball fliegt durch die Luft) in einen anderen (Ball landet am Boden) übergeht, nimmt es den am wenigsten aufwändigen Weg. Dieser Aufwand ist in der Physik als Wirkung bekannt.

Das Prinzip der stationären Wirkung: Die Natur ist faul

Diese Erkenntnis geht auf das fermatsche Prinzip zurück, wonach Lichtstrahlen den Weg wählen, der am schnellsten durchlaufen wird. Dem scheinen auch andere Systeme zu folgen. So beschreibt ein geworfener Ball eine Parabel – und nicht irgendeine wild gezackte Bahnkurve –, und auch Tiere scheinen sich intuitiv so zu verhalten: Wenn man vom Strand aus einen Ball in das Meer wirft, wird ein Hund den schnellsten Weg finden, um diesen zu holen. Indem man dieses Prinzip voraussetzt und ein bisschen Rechenarbeit hineinsteckt, kann man daraus die Bewegungsgleichungen herleiten, etwa die Bahnkurven der um die Sonne kreisende Planeten.

Der schnellste Weg | Lichtstrahlen – aber auch Tiere – finden häufig den schnellsten Weg, wenn sie sich von A nach B durch verschiedene Medien bewegen müssen.

Möchte man ein dynamisches System wie einen geworfenen Ball vollständig charakterisieren, muss man dessen Geschwindigkeit und Position zu jedem Zeitpunkt kennen. Über alle diese Größen gleichzeitig Buch zu führen, kann verwirrend sein – immerhin handelt es sich um einen sechsdimensionalen Vektor (drei Raumkoordinaten für die Position und drei für die Geschwindigkeit), der zu jedem Zeitpunkt unterschiedliche Werte annimmt. Deshalb zieht man eine skalare Größe (also eine veränderliche Zahl) heran, die diese Informationen codiert: der so genannte Lagrangian. Wenn sich dessen Wert ändert, symbolisiert das eine Bewegung im System. Die Wirkung (also der »Aufwand«, ein System von einem Zustand in einen anderen innerhalb einer bestimmten Zeit zu überführen) ist eng mit dem Lagrangian verbunden: Sie ist durch die Summe des Lagrangians zu jedem einzelnen Zeitpunkt gegeben. Das heißt, die Wirkung ordnet jeder möglichen Bahnkurve eines Systems einen Zahlenwert zu. Und wie Physiker gezeigt haben, entspricht die korrekte Bewegung eines physikalischen Systems jener Bahnkurve, für welche die Wirkung extremal ist.

Welche Bahnkurve ist die richtige? | Das Prinzip der stationären Wirkung gibt an, welche Bahnkurve die richtige ist.

Wie man einen Extremwert findet, haben wir durch Kurvendiskussionen in der Schule zur Genüge geübt: Man leitet ab und setzt das Ergebnis gleich null. In diesem Fall ist die Wirkung aber keine einfache Funktion, sondern ein Funktional – ja, diese zwei kleinen Buchstaben machen einen Unterschied. Die Wirkung integriert den Lagrangian nämlich über die Zeit, und der besteht wiederum aus zeitabhängigen Funktionen wie der Geschwindigkeit und der Position eines betreffenden Objekts. Man muss also etwas behutsamer vorgehen, um den Extremwert der Wirkung zu ermitteln. Eine Möglichkeit dafür bietet die so genannte Variationsrechnung. Das Prinzip ist dabei ähnlich wie bei gewöhnlichen Funktionen: Man wackelt ein wenig an den möglichen Bahnkurven, die das System durchlaufen kann, und findet heraus, wo sich die Wirkung möglichst wenig ändert. Auf diese Weise erhält man Gleichungen, die den Bewegungsgleichungen des zu beschreibenden Systems entsprechen – etwa die Bahnkurven von Planeten.

Noethers Trick: Jede Symmetrie bringt eine Erhaltungsgröße

Nach diesem Ausflug in die theoretische Physik fragen Sie sich sicher, was das Ganze mit dem Noether-Theorem zu tun hat. Tatsächlich ermöglicht es der Lagrangian, herauszufinden, was eine kontinuierliche Symmetrie im betrachteten System ist. Wendet man eine Symmetrietransformation (etwa eine Verschiebung der x-Koordinaten) auf die Variablen des Lagrangians L an, ohne dass sich etwas ändert, dann hat man eine Symmetrie gefunden. Wenn man zum Beispiel zwei Kugeln beschreiben möchte, die sich entlang der x-Achse aufeinander zubewegen und zusammenstoßen werden, hängt der Lagrangian ausschließlich von deren Abstand s1s2 = q ab. Verschiebt man die Positionen beider Kugeln um den gleichen Abstand α, bleibt der Lagrangian gleich, denn (s1+α)−(s2+α) = q. Daher ist das System symmetrisch unter Verschiebungen.

Noether hat nun untersucht, wie sich ein beliebiger Lagrangian allgemein verändert, wenn man eine Variable (etwa Zeit, Position oder die Phase einer Wellenfunktion) um einen Parameter α variiert. Diese Änderung in L lässt sich am besten analysieren, wenn man die Ableitung vom Lagrangian nach α bildet. Falls die Änderung durch α eine Symmetrietransformation darstellt, wird sich L nicht ändern – folglich ist die Ableitung null. Indem man einige Eigenschaften des Lagrangian nutzt und ein paar Umformungen vornimmt, wird aus der Ableitung von L nach α (∂L/∂α) die Ableitung eines neuen Ausdrucks Q nach der Zeit (dQ/dt). Und das soll gleich null sein. Das heißt, der neue Ausdruck Q ändert sich zeitlich nicht und ist somit eine Erhaltungsgröße! Damit liefert das Noether-Theorem zu jeder Symmetrie eine Erhaltungsgröße und nennt sogar eine Formel, um diese Größe zu berechnen.

Emmy Noether | Unter Mathematikern genoss sie durch ihre Arbeiten ein hohes Ansehen: 1932 durfte sie als erste Frau am Internationalen Mathematikerkongress in Zürich einen Vortrag halten.

Was die wenigsten wissen: Noether hat nicht nur ein extrem bedeutendes Theorem für die Physik hervorgebracht, sondern gleich zwei. Das zweite betrifft etwas abstraktere Symmetrieformen, die insbesondere in der Teilchenphysik Anwendung finden. Insgesamt lässt sich sagen, dass Noether den Fokus der Physiker auf Symmetrien und den damit einhergehenden Bereich der Gruppentheorie gelenkt hat. Das hat sich insbesondere bei der Entwicklung des Standardmodells der Teilchenphysik als äußerst hilfreich erwiesen. Doch auch in der Relativitätstheorie konnte Noether zu Erklärungen beitragen. 1915 suchten ihre Kollegen David Hilbert und Felix Klein sie nämlich auf, weil ihnen aufgefallen war, dass die Energie in der kürzlich veröffentlichten allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein offenbar nicht erhalten war. Da Hilbert und Klein wussten, dass Noether auf diesem Gebiet eine Expertin war, kamen sie mit diesem Rätsel zu ihr. Diese Frage veranlasste die Mathematikerin zu ihren Theoremen. Und sie konnte das Rätsel beantworten: Nein, die Energie ist in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie nicht erhalten, weil die Zeit darin keine statische Größe ist: Sie kann gedehnt und gestaucht werden. Daher ist nur unter bestimmten Spezialfällen die Energieerhaltung gegeben.

Trotz der enormen Bedeutung ihrer Arbeit hatte Noether nie eine unbefristete akademische Stelle inne. Als Frau musste sie stets um Anerkennung kämpfen – und das, obwohl sie äußerst renommierte Unterstützer hatte wie Albert Einstein oder David Hilbert, um nur einige zu nennen. Und selbst im Nachhinein hat sie leider nicht die Berühmtheit erlangt, die ihr eigentlich gebührt.

Eine Ausnahme-Wissenschaftlerin

Amalie Emmy Noether kam 1882 in Erlangen als erstes von vier Kindern einer Familie mit jüdischen Wurzeln zur Welt. Nachdem sie erfolgreich die Schule meisterte, legte sie mit 18 Jahren eine Sprachprüfung ab, um als Lehrerin zu arbeiten. Wegen ihres jüdischen Hintergrunds fand sie keine Anstellung – die Schulen in Bayern waren hauptsächlich katholisch oder evangelisch. Vermutlich auch wegen ihres Vaters, der damals ein bedeutender Mathematiker war, begann Noether in Erlangen Mathematik zu studieren.

Nach ihrer Doktorarbeit blieb sie acht weitere Jahre an der Universität, allerdings nur inoffiziell, obwohl sie ihren Vater in Vorlesungen vertrat. 1915 luden David Hilbert und Felix Klein sie schließlich nach Göttingen ein, wo sich die beiden Mathematiker dafür einsetzten, dass die begabte Mathematikerin eine Lehrstelle an der Universität erhalten sollte. Es dauerte vier weitere Jahre, bis das zuständige Ministerium eine Frau als Privatdozentin an einer preußischen Universität bewilligte. Dennoch erhielt Noether für ihre Arbeit keine Vergütung; erst 1923 bezog sie während des Semesters ein Gehalt.

Unter Mathematikern genoss Noether durch ihre Arbeiten ein hohes Ansehen: 1932 durfte sie als erste Frau am Internationalen Mathematikerkongress in Zürich einen Vortrag halten. Doch bereits ein Jahr später folgte der nächste Rückschlag. Nach der Machtergreifung der Nationalsozialisten wurde sie entlassen. Noether flüchtete daraufhin in die USA, wo sie am Bryn Mawr College für junge Frauen in Pennsylvania eine Anstellung fand. Drei Jahre später wurde sie am Unterleib operiert; die Ärzte entfernten ihre eine Eierstockzyste. Obwohl es schien, als wäre sie auf dem Weg der Besserung, starb sie nur vier Tage nach dem Eingriff.

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