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Freistetters Formelwelt: Das versteckte mathematische Zeichen

Richtig gute Mathematik kann höchst erstaunliche Resultate liefern. Aber wenn man nicht ganz genau hinsieht, verpasst man das, worum es eigentlich geht.
Ein Mann steht vor einer riesigen Tafel voller mathematischer BerechnungenLaden...

Seit einiger Zeit taucht in den diversen sozialen Netzwerken ein mathematisches Rätsel auf. Im Gegensatz zu den meisten anderen Memes dieser Art ist es aber durchaus einen genaueren Blick wert. Gesucht wird das Ergebnis folgender Rechnung:

Mathematische FormelLaden...

Das sieht vorerst nicht sonderlich schwer aus. Der eigentliche Witz an der Sache liegt im zu dieser Aufgabe gehörenden Kommentar: »Du wirst es nicht glauben, aber die Antwort lautet 5!«

Geht man die Rechnung so an, wie man es in der Schule gelernt hat, dann berücksichtigt man natürlich die Regel »Punktrechnung vor Strichrechnung« und wertet zuerst den hinteren Ausdruck aus. 220 geteilt durch 2 ergibt 110 – und zieht man das von 230 ab, dann lautet das Ergebnis ganz eindeutig 120 und nicht 5. Nur wenn man – fälschlicherweise – zuerst 230 – 220 = 10 rechnet und dann durch 2 teilt, bekommt man die 5 als Resultat. Was also ist hier los?

Der Witz besteht in der Verwendung eines mathematischen Zeichens, das man im normalen Rechenalltag selten trifft, dafür aber umso häufiger in Texten, die nichts mit Mathematik zu tun haben. Es geht um die so genannte Fakultät, eine spezielle Funktion für natürliche Zahlen.

In vielen Bereichen der Mathematik ist es nötig, das Produkt aller natürlichen Zahlen zwischen 1 und einer Obergrenze n zu bilden. Zum Beispiel wenn man wissen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, unterscheidbare Objekte anzuordnen. Auf meinem Schreibtisch etwa stehen derzeit fünf Bücher über Mathematik; in keiner speziellen Reihenfolge. Wenn ich aber das erste Buch ins Regal gestellt habe, bleiben mir nur noch vier übrig, die ich irgendwie anordnen kann. Sobald ich das zweite Buch ausgewählt und eingeordnet habe, gibt es noch drei Möglichkeiten für das Buch in der dritten Position. Und so weiter: Insgesamt berechnet sich die Gesamtzahl aller potenziellen Anordnungen meiner Bücher daher zu 5*4*3*2*1=120. 

Zur Darstellung der Funktion des Produkts der ersten n natürlichen Zahlen hat sich der Vorschlag des Straßburger Mathematikers Christian Kramp (1760-1826) durchgesetzt, der 1808 in seinem Werk »Élémens d’arithmétique universelle« dafür das »!« verwendete. Der Ausdruck »n!« ist also gleichbedeutend mit »1*2*3*…*n«. Und damit löst sich auch die verwirrende Rechnung weiter oben auf: Das »!« am Ende des Kommentars steht hier nicht wie üblich für einen Ausruf, sondern für die mathematische Fakultät. Das Ergebnis lautet tatsächlich 5!, was ja nichts anderes als das korrekte Resultat (120) ergibt.

Natürlich erscheint es verwirrend, ein so alltägliches Satzzeichen in einem mathematischen Kontext zu sehen. Aber genau darin liegt der Witz des Memes, da hier die Verwirrung absichtlich konstruiert wurde. In der echten Mathematik läuft man selten Gefahr, das Zeichen für die Fakultät mit einem Satzzeichen zu verwechseln. Obwohl es auch hier einige Zeit gedauert hat, bis man sich an diese Konvention gewöhnt hatte. Der englische Mathematiker Augustus De Morgan (1806-1871) drückte seine Ablehnung darüber noch 1842 in einem Artikel über mathematische Symbole der »Penny Cyclopedia« aus: »Zu den schlimmsten Barbareien gehört die Verwendung von Symbolen, die in der Mathematik neu, in der normalen Sprache aber gut verstanden sind. Autoren haben sich von den Deutschen die Abkürzung n! für 1*2*3*....*(n-1)*n geborgt, was ihren Texten den Anschein der Überraschung und Bewunderung darüber gibt, das 2,3,4, usw. in mathematischen Ergebnissen zu finden sind.«

De Morgan hat natürlich prinzipiell Recht, wenn er fordert, dass man bei der Vermischung von Alltags- und Fachsprache aufpassen muss. Aber dass mathematische Notation absichtlich so verwirrend präsentiert wird wie in dem Social-Media-Rätsel, ist eine Ausnahme. Und Überraschung und Bewunderung gehören durchaus zu den Empfindungen, die zumindest ich immer wieder angesichts der vielen beeindruckenden Resultate der Mathematik empfinde. 

33/2019

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 33/2019

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