Es ist der Teil eines Fußballspiels, den ich am spannendsten finde: das Elfmeterschießen. Ein Elfmeter kann eine schöne Ablenkung in einem trägen Spiel sein. Sobald er angekündigt wird, ist klar: Jetzt passiert auf jeden Fall etwas; es fällt ein Tor, der Schütze trifft daneben oder der Torwart wird zum Helden.

Beides weckt bei den Zuschauern – egal, welcher Seite sie angehören – starke Emotionen. Und doch handeln die meisten Schützen aus statistischer Sicht falsch. Die höchste Wahrscheinlichkeit für ein Tor haben sie, wenn sie in die Mitte zielen. Denn der Torwart springt fast immer nach links oder nach rechts. Nur selten entschließt er sich dazu, zentral stehen zu bleiben.

Aber beim Schießen eines Elfmeters geht es um mehr als bloß um ein Tor. Es geht um einen möglichst spektakulären Moment. Und wenn jeder Schütze immer die Mitte anvisieren würde, dann blieben auch die Torwarte eher dort stehen. Langfristig ist das also nicht die richtige Taktik.

Trotzdem lässt sich die optimale Handlungsweise beim Elfmeter ermitteln, wie der Ökonom und Politikwissenschaftler Billy Watson vom King’s College London in einem Beitrag bei »Plus-Math« erklärt. Mithilfe der Spieltheorie hat er die bestmögliche Elfmeter-Strategie erarbeitet.

Der mathematisch perfekte Elfmeter

Bei einem Elfmeter hat der Schütze fünf Möglichkeiten. Er schießt nach:

1. oben links,
2. unten links,
3. in die Mitte,
4. oben rechts,
5. unten rechts.

Der Torwart ist in der Regel weniger zielgerichtet. Er springt nach links, nach rechts oder bleibt in der Mitte stehen.

Je nach Situation können dann drei Ergebnisse eintreten: Der Ball geht ins Tor, wird vom Torwart gehalten oder geht daneben. Letzteres ist für den Schützen natürlich besonders peinlich – auch wenn das Endergebnis dasselbe ist, wie wenn der Torwart den Ball hält.

Aber Fußball hat nun einmal eine soziale Komponente. Es geht nicht nur ums Gewinnen oder Verlieren, sondern auch darum, wie man gewonnen beziehungsweise verloren hat. Ein besonders riskantes Tor, bei dem man zum Beispiel den Ball ganz knapp in eine obere Ecke lenkt, bejubeln die Zuschauer wahrscheinlich stärker als eines, das in die Mitte des Tors geht (bis auf die Paradedisziplin, ein »Panenka-Tor«, bei dem der Ball ganz leicht in die Mitte des Tors gelupft wird).

Der Ökonom Billy Watson berücksichtigte solche sportkulturellen Besonderheiten, um jedem möglichen Elfmeter-Ereignis im Sinne der Spieltheorie einen Wert zuzuordnen – und zwar einmal aus Sicht des Schützen und einmal aus Sicht des Torwarts. Je höher der Wert, desto besser ist das jeweilige Ereignis für die Person.

Wenn einem Schützen zum Beispiel ein riskantes Tor gelingt, kann man diesem einen Wert von 4 beimessen. Falls ein Torwart einen extrem gut geschossenen Ball fängt, entspricht das wiederum einem Wert von 5 für den Torwart, aus Sicht des Schützen ist es hingegen eine –3. Welche Zahlenwerte man für welches Ereignis wählt, ist subjektiv. Doch es ist möglich, anhand der subjektiven Werte eine aus objektiver Sicht optimale Entscheidung zu treffen. Sprich: Wo sollte ein Schütze am besten hinschießen, und in welche Richtung sollte ein Tormann optimalerweise springen?

Um das herauszufinden, hat Watson zunächst zwei Tabellen für die möglichen Ereignisse erstellt: einmal eine mit den spieltheoretischen Werten aus Sicht des Schützen, die andere aus Sicht des Torwarts.

Die Tabelle für den Schützen fiel folgendermaßen aus:

Hierbei stehen die Werte in den Klammern für die Fälle getroffen, gehalten, daneben. Die blamabelsten Situationen stellen sich demnach für einen Schützen ein, falls er in eine obere Ecke zielt, der Torwart sich »falsch« bewegt und der Ball trotzdem außerhalb des Tors landet. Sprich: Besonders peinlich wird es, wenn ein weniger riskanter Schuss hätte glücken können.

Für den Torwart sieht die entsprechende Tabelle folgendermaßen aus:

In diesem Fall hat die glücklichste Situation einen Wert von 5. Diese tritt ein, wenn der Schütze einen riskanten Schuss wagt – ihn der Torwart aber vorausahnt und hält. Am blamabelsten ist hingegen, wenn der Torwart in die richtige Richtung springt, der Ball aber dennoch im Netz landet.

Um zu bewerten, wie sich ein Schütze oder ein Torwart bei völliger Unkenntnis entscheiden sollten – also, wohin sie schießen beziehungsweise springen sollten –, muss man wissen, wie häufig die jeweiligen Ereignisse eintreten. Dafür hat Watson empirische Daten anderer Studien genutzt. So konnte er Wahrscheinlichkeiten dafür angeben, dass ein Ball ins Tor geht, gehalten wird oder danebengeht:

Das bedeutet: Im Schnitt gehen 29 Prozent der Bälle ins Tor, wenn ein Schütze in die linke untere Ecke des Tors zielt und der Torwart nach links springt.

Mit den zuvor festgelegten Zahlenwerten für den Schützen lässt sich aus dessen Sicht anhand der Wahrscheinlichkeiten ein Erwartungswert für die Ereignisse berechnen:

Das bedeutet: Wenn ein Schütze in die untere linke Ecke schießt und der Torwart nach links springt, dann beträgt der Erwartungswert des Ereignisses –0,85 – was nicht besonders gut für den Schützen ist. Je höher der Wert, desto besser.

Aus Sicht des Torwarts lautet die Tabelle der Erwartungswerte:

Nun wollte Watson herausfinden, welche Strategie am nützlichsten für einen Schützen und für einen Torwart ist. Doch es gibt ein Problem: In der Regel (beziehungsweise wenn es gut läuft) lässt sich nicht vorhersagen, wie sich die jeweiligen Spieler entscheiden werden. Es ist unklar, ob der Torwart nach rechts oder links springen wird oder ob der Schütze bevorzugt eine obere Ecke anvisiert. In diesem Fall besteht aus spieltheoretischer Sicht die beste Entscheidung darin, den Zufall über die Schussrichtung oder den Sprung entscheiden zu lassen.

Zufall ist nicht gleich Zufall

Für manche klingt es vielleicht so, als sei man mit dieser Antwort nicht schlauer als zuvor. Aber tatsächlich ist der Zufall sehr vielfältig. Angenommen, der Torwart wollte nach rechts oder links springen. Dann könnte er eine Münze entscheiden lassen – oder eine gezinkte Münze, die nicht mit einer Fifty-fifty-Chance auf Kopf oder Zahl fällt. Und wie sich herausstellt, lässt sich mit Spieltheorie die optimale Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Problem finden.

Dafür vereinfacht Watson zunächst das Problem, indem er einige der Entscheidungsmöglichkeiten für die Spieler ausschließt. Wenn man sich die obige Tabelle mit den Erwartungswerten ansieht, dann fällt auf, dass es für den Schützen immer lohnender ist, nach oben zu schießen als nach unten. Daher kann man die nach unten gerichteten Fälle vernachlässigen. Auch ein Schuss in die Mitte zahlt sich für den Schützen gemäß der Erwartungswerte weniger aus. Deshalb kann man sich bloß auf die Fälle beschränken, bei denen er in die obere linke oder rechte Ecke des Tors zielt.

In diesem Fall ist es für den Torwart ebenfalls am sinnvollsten, nur nach links oder nach rechts zu springen und nicht in der Mitte zu verharren. Damit ergibt sich folgende Tabelle mit den Erwartungswerten für den Schützen:

Und für den Torwart folgt:

Und mit diesen Werten lässt sich nun eine geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen, anhand derer die Spieler ihre Entscheidung zufällig treffen. Angenommen, ein Schütze schießt mit einer Wahrscheinlichkeit von q nach links (und mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 – q nach rechts), während ein Torwart mit einer Wahrscheinlichkeit von p nach links springt (und mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 – p nach rechts).

Falls der Torwart nach links springt, dann hat der Schütze also einen Erwartungswert von –0,67⋅q + 1,8⋅(1 – q). Springt der Torwart hingegen nach rechts, ist der Erwartungswert entsprechend: 1,8⋅q – 1,44⋅(1 – q). Da der Schütze nicht weiß, in welche Richtung der Torwart springen wird, bekommt er das bestmögliche Ergebnis, wenn er für beide Situationen den gleichen Erwartungswert erhält. Das heißt, er muss die Wahrscheinlichkeit q so wählen, dass:

–0,67⋅q + 1,8⋅(1 – q) = 1,8⋅q – 1,44⋅(1 – q), woraus folgt: q = 0,57.

Der Schütze erhält also das bestmögliche Ergebnis, wenn er in 57 Prozent der Fälle nach links schießt und in 43 Prozent der Fälle nach rechts.

Gleiches kann man für den Torwart durchspielen. Dieser hat einen Erwartungswert von 2,89⋅p – 0,95⋅(1 – p), falls der Schütze nach oben links zielt; und einen Erwartungswert von –0,95⋅p + 3,55⋅(1 – p), wenn der Schütze nach oben rechts schießt. Das bestmögliche Ergebnis ergibt sich für den Torwart also, wenn:

2,89⋅p – 0,95⋅(1 – p) = 0,95⋅p + 3,55⋅(1 – p)

Löst man diese Gleichung nach p auf, erhält man als Ergebnis: p = 0,54. Der Torwart sollte also in 54 Prozent der Fälle nach links springen und in nur 46 Prozent der Fälle nach rechts.

Falls Sie sich über das Ungleichgewicht zwischen rechts und links wundern: Das liegt wohl daran, dass Fußball kein rein symmetrisches Problem ist. In der Regel haben Spieler ein Bein, mit dem sie bevorzugt schießen. Wenn sie zum Beispiel – wie die Mehrheit der Menschen – Rechtsfüßer sind, dann bietet es sich für sie an, die linke Ecke des Tors anzuvisieren.

Ob sich Spieler in der Realität an diesem statistischen und spieltheoretischen Ansatz orientieren, ist unklar. Viele Teams setzen auf gezielte Analysen vergangener Spiele, um bevorzugte Handlungen der Kontrahenten kennenzulernen. Im Einzelfall funktioniert das wahrscheinlich besser, als seine Entscheidung an allgemeiner Statistik aufzuhängen. Doch falls Sie mal gegen einen unbekannten Gegner antreten, kennen Sie nun die Handlungsempfehlung. Ich bin gespannt, ob sie hilft.