Viele überkommt an diesem Datum ein Schauer: Freitag, der 13. Um diesen Tag drehen sich Mythen und Legenden, ihm wurden Horrorfilme gewidmet. Dabei handelt es sich bloß um ein harmloses Datum.

Wenn man nach Katastrophen an diesen Tagen sucht, wird man natürlich fündig: Am Freitag, den 13. September 1940, bombardierte die Wehrmacht den Buckingham Palace, am Freitag, den 13. Januar 2012, lief das italienische Kreuzfahrtschiff Costa Concordia auf einen Felsen auf und kenterte, was zu 32 Todesfällen führte; und auch für Rap-Fans markierte Freitag, der 13. September 1996, einen Trauertag, als Tupac Shakur seinen Schusswunden erlag. Auch wenn das natürlich tragische Ereignisse sind, findet sich für jedes andere Datum ähnlich bestürzende Nachrichten.

Mit Mathematik lässt sich der Aberglaube vollständig entzaubern. Mit ihrer Hilfe kann man zeigen, dass es kein Jahr ohne ein solches unheilvolles Datum gibt. Und sie offenbart sogar eine Asymmetrie zugunsten des Datums: Tatsächlich fällt der 13. Tag eines Monats häufiger auf einen Freitag als auf jeden anderen Wochentag.

Um das nachzuvollziehen, braucht man ein klein wenig Zahlentheorie – aber keine Angst, das lässt sich recht einfach erklären. Zunächst einmal betrachten wir nur Jahre mit 365 Tagen, also keine Schaltjahre, und berechnen, auf den wievielten Tag eines Jahres der 13. eines Monats fällt.

1. Der 13. Januar ist der 13. Tag des Jahres.
2. Der 13. Februar ist der 44. Tag des Jahres, da der Januar 31 Tage hat.
3. Der 13. März ist der 72. Tag des Jahres, da wir keine Schaltjahre betrachten und der Februar folglich 28 Tage hat.
4. Der 13. April fällt auf den 103. Tag des Jahres, da der März 31 Tage hat.
5. Der 13. Mai ist der 133. Tag des Jahres, da der April 30 Tage hat.
6. Der 13. Juni ist der 164. Tag des Jahres, da der Mai 31 Tage hat.
7. Der 13. Juli ist der 194. Tag des Jahres, da der Juni 30 Tage hat.
8. Der 13. August ist der 225. Tag des Jahres, da der Juli 31 Tage hat.
9. Der 13. September ist der 256. Tag des Jahres (und damit Tag des Informatikers), da der August auch 31 Tage hat.
10. Der 13. Oktober ist der 286. Tag des Jahres, da der September 30 Tage hat.
11. Der 13. November ist der 317. Tag des Jahres, da der Oktober 31 Tage hat.
12. Und der 13. Dezember ist schließlich der 347. Tag des Jahres, da der November 30 Tage hat.

Nun ist es so, dass sich die Wochentage nach sieben Tagen wiederholen. Demnach fallen der erste Tag des Jahres, der achte, der 15., der 22. und so weiter auf den gleichen Wochentag. Es lässt sich also herausfinden, welche 13. Tage eines Monats auf denselben Wochentag fallen. Hierfür muss man nur die zuvor bestimmten Tage des Jahres durch sieben teilen und den Rest zur nächstkleineren ganzzahligen Zahl errechnen.

Das mag jetzt kompliziert klingen, ist aber im Grunde einfach. Wenn man zum Beispiel 13 durch 7 teilt, erhält man 1 mit Rest 6. Das bedeutet: Der 13. Tag im Jahr fällt auf denselben Wochentag wie der sechste Tag des Jahres. Das kann man für alle 13. eines Monats durchspielen:

1. Der 13. Januar fällt auf denselben Tag wie der 6. Tag des Jahres.
2. Der 13. Februar fällt auf denselben Tag wie der 2. Tag des Jahres.
3. Der 13. März fällt auf denselben Tag wie der 2. Tag des Jahres.
4. Der 13. April fällt auf denselben Tag wie der 5. Tag des Jahres.
5. Der 13. Mai fällt auf denselben Tag wie der 0. Tag des Jahres (was gleichbedeutend mit dem siebten Tag des Jahres ist).
6. Der 13. Juni fällt auf denselben Tag wie der 3. Tag des Jahres.
7. Der 13. Juli fällt auf denselben Tag wie der 5. Tag des Jahres.
8. Der 13. August fällt auf denselben Tag wie der 1. Tag des Jahres.
9. Der 13. September fällt auf denselben Tag wie der 4. Tag des Jahres.
10. Der 13. Oktober fällt auf denselben Tag wie der 6. Tag des Jahres.
11. Der 13. November fällt auf denselben Tag wie der 2. Tag des Jahres.
12. Der 13. Dezember fällt auf denselben Tag wie der 4. Tag des Jahres.

Wie Sie sehen, taucht jeder Wochentag (gelabelt von 0 bis 6) mindestens einmal in der Liste auf. In einem Jahr mit 365 Tagen fällt also jeder Wochentag auf mindestens einen 13. eines Monats (0, 1 und 3 tauchen nur je einmal auf). Wochentage können aber auch doppelt auf einem 13. Tag des Monats landen (4, 5 und 6), und es gibt sogar einen Wochentag, der dreimal auf dem 13. landet (2). Wenn der zweite Tag eines gewöhnlichen Jahres also ein Freitag ist, dann gibt es dreimal einen Freitag, den 13. Das ist 2026 der Fall.

Aber was, wenn es ein Schaltjahr mit 366 Tagen ist? Hierbei lässt sich die vorige Berechnung analog durchführen, nur dass der Februar in diesem Fall 29 Tage hat:

1. Der 13. Januar ist der 13. Tag des Jahres.
2. Der 13. Februar ist der 44. Tag des Jahres, da der Januar 31 Tage hat.
3. Der 13. März ist der 73. Tag des Jahres, da der Februar in einem Schaltjahr 29 Tage hat.
4. Der 13. April fällt auf den 104. Tag des Jahres, da der März 31 Tage hat.
5. Der 13. Mai ist der 134. Tag des Jahres, da der April 30 Tage hat.
6. Der 13. Juni ist der 165. Tag des Jahres, da der Mai 31 Tage hat.
7. Der 13. Juli ist der 195. Tag des Jahres, da der Juni 30 Tage hat.
8. Der 13. August ist der 226. Tag des Jahres, da der Juli 31 Tage hat.
9. Der 13. September ist der 257. Tag des Jahres, da der August auch 31 Tage hat.
10. Der 13. Oktober ist der 287. Tag des Jahres, da der September 30 Tage hat.
11. Der 13. November ist der 318. Tag des Jahres, da der Oktober 31 Tage hat.
12. Und der 13. Dezember ist schließlich der 348. Tag des Jahres, da der November 30 Tage hat.

Auch hier muss man herausfinden, welchen Wochentagen diese Daten entsprechen. Erneut teilt man dafür die Tage durch sieben und berechnet den Rest.

1. Der 13. Januar fällt auf denselben Tag wie der 6. Tag des Jahres.
2. Der 13. Februar fällt auf denselben Tag wie der 2. Tag des Jahres.
3. Der 13. März fällt auf denselben Tag wie der 3. Tag des Jahres.
4. Der 13. April fällt auf denselben Tag wie der 6. Tag des Jahres.
5. Der 13. Mai fällt auf denselben Tag wie der 1. Tag des Jahres.
6. Der 13. Juni fällt auf denselben Tag wie der 4. Tag des Jahres.
7. Der 13. Juli fällt auf denselben Tag wie der 6. Tag des Jahres.
8. Der 13. August fällt auf denselben Tag wie der 2. Tag des Jahres.
9. Der 13. September fällt auf denselben Tag wie der 5. Tag des Jahres.
10. Der 13. Oktober fällt auf denselben Tag wie der 0. Tag des Jahres.
11. Der 13. November fällt auf denselben Tag wie der 3. Tag des Jahres.
12. Der 13. Dezember fällt auf denselben Tag wie der 5. Tag des Jahres.

Durch den Schalttag haben sich die Wochentage verschoben, aber das Ergebnis bleibt das Gleiche. Auch in diesem Fall taucht jeder Wochentag mindestens einmal auf (0, 1 und 4), es gibt aber auch Wochentage, die doppelt auf einem 13. des Monats landen (2, 3 und 5), und einen Wochentag, der sogar dreimal vorkommt (6). Wenn also in einem Schaltjahr der sechste Wochentag ein Freitag ist, dann gibt es in diesem Jahr dreimal einen Freitag, den 13.

Damit ist klar, dass es jährlich mindestens einen und höchstens drei Freitage gibt, die auf den 13. Tag eines Monats fallen. Abergläubische Menschen müssen sich also jedes Jahr ihrer Angst stellen – es führt kein Weg daran vorbei.

Der 13. eines Monats ist am häufigsten ein Freitag

Deutlich interessanter finde ich aber die Feststellung, dass der 13. eines Monats statistisch gesehen häufiger auf einen Freitag fällt als auf alle anderen Wochentage. Das mag erstaunlich erscheinen – aber auch das lässt sich mit Mathematik zeigen.

Hierfür müssen wir die Besonderheiten des gregorianischen Kalenders berücksichtigen. Gäbe es einfach nur normale Jahre mit 365 Tagen, dann würde sich die Verteilung der Wochentage alle sieben Jahre wiederholen. Das würde bedeuten: Nach sieben Jahren hätte jedes Datum wieder exakt denselben Wochentag wie im ersten Jahr.

Um einen solchen Kalender (ohne Schaltjahre) zu untersuchen, kann man eine Tabelle anfertigen mit einem fiktiven Jahr 0, bei dem der erste Januar an einem Montag beginnt, und darin verzeichnen, wie häufig ein Wochentag innerhalb eines Jahres auf den 13. Tag eines Monats fällt:

In diesem Fall ist der 13. eines Monats unter allen Wochentagen gleich verteilt: Jeder Wochentag fällt in dieser siebenjährigen Periode exakt zwölfmal auf einen 13. eines Monats.

Doch der gregorianische Kalender ist komplizierter: Alle vier Jahre gibt es einen Schalttag. Dadurch verändert sich auch die Periodizität eines Kalenders. Man muss nun auch die Schalttage berücksichtigen. Die Verteilung der Wochentage wiederholt sich dann nur alle 28 Jahre. In dieser Zeit fällt jeder 13. eines Monats exakt 48-mal auf jeden der sieben Wochentage. 

Aber wie Sie vielleicht schon bemerkt haben, ist unser Kalendersystem noch etwas umständlicher. Es gibt nämlich eine Ausnahme zur Schaltjahr-Regel: Alle 100 Jahre wird der Schalttag weggelassen. Berücksichtigt man diese Zusatzregel, beträgt die Periodizität des Kalenders 700 Jahre. Erst dann fallen wieder alle Wochentage auf dasselbe Datum, und auch das Muster der Schaltjahre wiederholt sich. Innerhalb dieses Zyklus gibt es erneut eine gleichförmige Verteilung der Wochentage: Nach dem 699. Jahr fällt jeder 13. eines Monats exakt 1200-mal auf jeden Wochentag.

Bisher deutet also nichts darauf hin, dass ein Tag häufiger auf den 13. eines Monats fallen sollte als ein anderer. Doch der gregorianische Kalender hat eine Ausnahmeregel zu Ausnahmeregel: Wenn die Jahreszahl durch 400 teilbar ist, gibt es in diesem Jahr doch einen Schalttag. Das ist der Grund, weshalb das Jahr 2000 ein Schaltjahr war.

Und jetzt kommt etwas Erstaunliches: Durch diese zusätzliche Regel verringert sich die Dauer, bis der Kalender sich wiederholt. Ein vollständig periodischer Zyklus währt keine 700 Jahre, sondern nur 400. Um das zu verstehen, muss man die zwei Bedingungen kennen, die für die Periodizität erfüllt sein müssen:

1. Das Muster der Schaltjahre beginnt von vorn.
2. Jedes Datum fällt wieder auf denselben Wochentag wie am Anfang.

Der erste Punkt entspricht also der Dauer, bis sich das Muster der Schaltjahre wiederholt (etwa vier Jahre, wenn man nur berücksichtigt, dass alle vier Jahre ein Schaltjahr ist; oder aber 100 Jahre, wenn man die zweite Regel hinzunimmt, wonach alle 100 Jahre ein Schaltjahr aussetzt). Der zweite Punkt besagt, dass die Gesamtzahl der Tage innerhalb eines Zyklus durch sieben teilbar sein muss.

Im Gregorianischen Kalender wiederholt sich alle 400 Jahre das Muster der Schaltjahre. Dieser Zeitraum umfasst also $365\cdot 400=146000$ Tage, plus 97 Schalttage (die 100 Schalttage minus die drei Ausnahmen). Und wie sich herausstellt, ist 146 097 durch 7 teilbar.

In diesem Zeitraum verteilen sich aber die 97 Schalttage nicht gleichmäßig: Zwischen dem Jahr 2000 und 2099 gibt es 25 Schalttage, in den folgenden drei Jahrhunderten sind es hingegen nur je 24. Das führt zu einem Ungleichgewicht bei der Verteilung der Wochentage.

Das lässt sich konkret berechnen: Das Jahr 2000 war ein Schaltjahr, und der erste Januar fiel auf einen Samstag. Mithilfe eines Computerprogramms kann man bestimmen, wie viele 13. eines Monats auf welchen Wochentagen in den darauffolgenden 400 Jahren (also bis zum 31.12.2399) fallen werden:

Wie Sie sehen, ist der 13. eines Monats häufiger ein Freitag als jeder andere Wochentag. Das mag eine schlechte Nachricht für abergläubische Menschen sein. Andererseits: Dieses Ergebnis ist völlig zufällig – hätte unsere Datumsrechnung mit einem anderen Tag begonnen, würde ein anderer Wochentag am 13. Tag eines Monats bevorzugt werden.