Ich kann mir schon lebhaft die Diskussionen vorstellen, die es diesen Sommer bei der Fußball-Weltmeisterschaft geben wird: »Hier wurde doch falsch gepfiffen!«, »Das war niemals ein Foul!«, »Bei der anderen Mannschaft hätte das einen Elfmeter gegeben!«. Zum Glück gibt es inzwischen Videobeweise, mit denen sich nachvollziehen lässt, ob die Entscheidung eines Schiedsrichters korrekt war oder nicht. Doch auch die Einführung dieser Videobeweise sorgt in der Fancommunity für hitzige Debatten.

Bevor die Gemüter der Leserinnen und Leser hochkochen, möchte ich mich auf eine sachliche Ebene begeben, nämlich auf die Ebene der Mathematik, die mit den Videobeweisen und Videoassistenten einhergeht.

Eine liebe Kollegin trat neulich mit einer scheinbar harmlosen Frage an mich heran: Wie viele Kameras sind mindestens nötig, um das Spielfeld möglichst genau abzudecken? Und wo platziert man sie am besten, um zu garantieren, dass jede Handlung verfolgt wird? Wie sich herausstellt, ist diese Frage alles andere als einfach zu beantworten.

Vom Kunstraub zum Fußballspiel

Die Fragestellung ist in der Mathematik als »Problem der Museumswächter« bekannt und geht auf den Mathematiker Victor Klee zurück. Der fragte im Jahr 1973 seinen Kollegen Václav Chvátal, wie viele Wächter mindestens nötig sind, um eine Galerie zu bewachen.

Dabei handelt es sich um ein klassisches Optimierungsproblem, das von der Form des Raums abhängt: Man möchte mit möglichst wenigen Personen den gesamten Bereich überwachen. Für eine drei- oder rechteckige Galerie, bei der Bilder an der Wand hängen und die im Übrigen leer ist – keine Säulen, keine Menschen –, genügt theoretisch ein einziger Wächter. Wenn sich dieser in eine Ecke des Raums stellt, kann er problemlos die gesamte Fläche überblicken.

Für kompliziertere Raumformen ist es nicht so einfach, eine Antwort zu finden. Chvátal konnte 1975 beweisen, dass die minimale Anzahl von Wächtern in einem Raum mit n Ecken höchstens ⁿ/₃ beträgt (wobei das Ergebnis abgerundet wird, falls es nicht ganzzahlig ist).

Um das zu beweisen, muss man die zu bewachende Fläche zunächst triangulieren: Man zerlegt sie in Dreiecke, deren Endpunkte mit den Eckpunkten der Fläche zusammenfallen. Ein Wächter ist stets in der Lage, ein solches Dreieck vollständig zu überblicken. Ein derartiges Netz aus Dreiecken lässt sich mit drei Farben immer so kolorieren, dass benachbarte Punkte unterschiedlich gefärbt sind. Daraus folgt, dass jedes Dreieck drei verschiedene Farben enthält, etwa Rot, Grün und Blau. Indem man also an jedem Punkt einer bestimmten Farbe (etwa Blau) einen Wächter platziert, lässt sich die gesamte Fläche bewachen. Da die n Eckpunkte der Fläche durch die drei Farben koloriert sind, sind höchstens ⁿ/₃ Wächter nötig.

Diese Überlegung liefert folglich eine Lösung – aber nicht zwingend die optimale. Die kleinste Anzahl an Wächtern für beliebig geformte Räume exakt zu bestimmen sowie deren Platzierung zu ermitteln, erweist sich als notorisch komplexes Problem, für das Computer mitunter an ihre Grenzen stoßen (Fachleute sprechen von einem NP-schweren Problem).

Ein Spielfeld mit 22 Löchern

Ein Fußballfeld ist allerdings ziemlich einfach aufgebaut: Es ist rechteckig. Demnach sollte eine in einer Ecke platzierte Kamera das gesamte Feld überblicken können, sofern ihr Aufnahmewinkel mindestens 90 Grad beträgt.

Nun ist es aber witzlos, ein leeres Fußballfeld zu filmen. Stattdessen möchte man ein Spiel verfolgen, bei dem 22 Kicker um den Ball kämpfen. Das macht die Aufgabe deutlich komplizierter. Denn die Personen verdecken sich während des Spiels immer wieder gegenseitig. Zudem sind sie ständig in Bewegung, wodurch das Problem ein dynamisches wird.

Deshalb wenden wir uns zunächst einer Vereinfachung zu, dem statischen Problem. Angenommen, die 22 Spieler sind regungslos auf dem Feld verteilt. Aus mathematischer Perspektive entspricht diese Situation dem Museumswächter-Problem mit Löchern: Die zu bewachende Fläche enthält Löcher oder Säulen, durch welche die Wächter nicht hindurchsehen können. Es stellt sich also die Frage, wie viele Wächter mindestens nötig sind, um eine rechteckige Fläche mit 22 Löchern zu bewachen.

2009 bewiesen die Mathematiker Hemanshu Kaul und YoungJu Jo vom Illinois Institute of Technology, dass in diesem Fall zehn Wachmänner ausreichen. Ihre Beweisidee dabei ähnelt dem klassischen Fall des Museumswächter-Problems: Man zerlegt die Fläche in Vielecke (statt nur Dreiecke), definiert daraus ein Netzwerk aus Punkten und Linien und stellt Überlegungen darüber an, wie man das Netzwerk unterschiedlich einfärben kann.

Wie im klassischen Fall ist jedoch auch das Ergebnis von Kaul und Jo nur eine Abschätzung und liefert nicht für alle Situationen das optimale Resultat. Demnach könnten also weniger Wächter ausreichen, um ein rechteckiges Spielfeld mit 22 Löchern zu beobachten.

Die komplizierte Realität

Wie so oft ist die Realität aber leider viel komplizierter als die theoretisierten Fälle. Beim Fußball stehen die 22 Personen auf dem Spielfeld (in aller Regel) nicht einfach herum, vielmehr bewegen sie sich. Zudem laufen wesentliche Teile des Spiels nicht bloß auf der zweidimensionalen Ebene ab, sondern sie haben eine dreidimensionale Komponente. Darüber hinaus ist die Leistung der Kameras begrenzt. Sie decken nicht – wie im Fall der Museumswächter angenommen – einen Bereich von 360 Grad ab.

All diese Punkte erschweren das Problem so sehr, dass sich nur computergestützteAnalysen zu solchen Aufgaben finden lassen. So erhält man zwar für bestimmte Spezialfälle eine maßgeschneiderte Näherungslösung, aber es lässt sich nicht sagen, dass mindestens y Kameras an diesen und jenen Orten des Spielfelds für eine perfekte Spielüberwachung nötig sind.

Beim Fußball muss man sich also eher auf Simulationen verlassen – und vor allem auf Erfahrungswerte. Denn ganz unabhängig von Videobeweisen werden Fußballspiele seit Jahrzehnten gefilmt und übertragen. Inzwischen ist den meisten Organisatoren daher bewusst, wo sie welche Kamera am besten einsetzen.

Bei der vorangegangenen Weltmeisterschaft in Katar waren ganze 42 Kameras auf die 22 Spieler auf dem Fußballfeld gerichtet. Die FIFA begründet leider nicht genau, wieso sie wie viele Kameras verwendet. Die Anzahl erscheint ziemlich hoch, offenbar um ganz sicher zu sein, dass das Spielfeld überall möglichst gut abgedeckt ist. Aber die FIFA hat es bei ihren finanziellen Möglichkeiten wohl ohnehin kaum nötig, nach einer optimalen Lösung mit möglichst wenigen Kameras zu suchen.

Die Platzierung der Kameras verrät hingegen etwas über das Spiel an sich: In Tornähe und an der Mittellinie finden sich die meisten Kameras – dort, wo es offenbar am häufigsten zu spannenden Situationen kommt.

Viele kleinere Vereine und Organisationen haben jedoch ganz andere Schwierigkeiten als die optimale Platzierung der Kameras. Die Geräte müssen nämlich richtig kalibriert und aufeinander abgestimmt werden, um zuverlässige Videobeweise zu liefern – und das gestaltet sich nicht immer einfach.

Falls Sie also beim Fußballschauen erboste Zuschauer hören, die sich über Videobeweise echauffieren: Vielleicht können Sie die Person ja besänftigen, indem Sie von der mathematischen Komplexität hinter der Aufgabe sprechen. Ich bin gespannt, ob das funktioniert.