Irrationale Zahlen wie Pi oder die Wurzel aus 2 faszinieren seit jeher die Menschheit. Schließlich symbolisieren sie besser als alles andere das Unendliche: Ihre Ziffernfolge hinter dem Komma erstreckt sich über alle Grenzen hinweg, ohne dass sie sich jemals regelmäßig wiederholt. Das Erstaunlichste hierbei ist, dass diese Zahlen in den einfachsten Zusammenhängen auftauchen, etwa wenn man den Umfang eines Kreises berechnen möchte oder die Diagonale eines Quadrats.

Daher untersuchen Gelehrte seit Tausenden von Jahren die Eigentümlichkeiten irrationaler Zahlen. Und doch sind wir noch heute weit davon entfernt, ihre Geheimnisse gelüftet zu haben. Im Gegenteil scheint es, als seien selbst die grundlegendsten Eigenschaften dieser Zahlen unbekannt. Ein Rätsel, über das sich Fachleute den Kopf zerbrechen, hat mit der »Irrationalität« der Zahlen zu tun.

»Die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen« – so lautet ein Satz, den Schülerinnen und Schüler zu meinem Erstaunen inzwischen sogar schon in der Mittelstufe lernen. Das bedeutet: Ich kann jede irrationale Zahl beliebig gut durch Bruchzahlen (rationale Zahlen) annähern. Damit kann man also durch Brüche immer dichter an eine Zahl wie Pi herankommen. Je größer die Nenner der herangezogenen Brüche, desto geringer der Abstand zur irrationalen Zahl.

Schon Diophantos von Alexandria interessierte sich für diese Eigenschaft. Er fragte sich, wie man eine irrationale Zahl gut annähern kann. Sprich: Wie findet man einen Bruch mit einem möglichst kleinen Nenner, der sich möglichst wenig von der irrationalen Zahl unterscheidet? Diese so harmlos anmutende Frage prägt die mathematische Forschung bis heute.

Wie irrational ist eine irrationale Zahl?

Denn wie sich herausstellt, lassen sich nicht alle irrationalen Zahlen gleich gut durch Bruchzahlen annähern. Es gibt manche, bei denen schon recht einfache Brüche genügen, um bereits viele Nachkommastellen korrekt abzubilden, während bei anderen die Nenner sehr groß ausfallen müssen. Der Goldene Schnitt zum Beispiel, also $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \mathrm{1,618}\dots$, lässt sich besonders schlecht nähern – $\varphi$wird daher als die »irrationalste« aller Zahlen bezeichnet.

Gustav Lejeune Dirichlet hat sich im 19. Jahrhundert Diphantos‘ Frage angenommen. Er betrachtete dafür die Differenz einer irrationalen Zahl $\alpha$ zu einer Bruchzahl $\frac{p}{q}$und konnte zeigen, dass ihr Unterschied im besten Fall maximal $\frac{1}{q^2}$ beträgt:

Das heißt: Für jede irrationale Zahl $\alpha$ gibt es unendlich viele Bruchzahlen $\frac{p}{q}$, welche die obige Gleichung erfüllen. Die Genauigkeit, mit der sich eine irrationale Zahl durch einen Bruch annähern lässt, skaliert mit dem Quadrat des Nenners q. Je größer der Nenner eines passend gewählten Bruchs, umso präziser kann man den Wert einer irrationalen Zahl bestimmen.

Nachfolgend versuchten Mathematiker herauszufinden, ob sich diese Abschätzung verbessern lässt. Sie wollten an die reale Grenze stoßen: Wie nahe kann man durch einen geschickt gewählten Bruch einer irrationalen Zahl höchstens kommen?

Je größer der Nenner im rechten Teil der Gleichung, desto besser fällt die Näherung aus. Daher prüften Fachleute, ob man den Wert $\frac{1}{q^2}$ auf der rechten Gleichungsseite durch $\frac{1}{c\cdot q^2}$ ersetzen kann, wobei c eine Konstante ist. Und tatsächlich fand der Mathematiker Adolf Hurwitz 1891 ein passendes c. Er bewies, dass$c=\sqrt{5}$ das bestmögliche allgemeine Ergebnis liefert.

Das heißt, für jede irrationale Zahl $\alpha$ gibt es unendlich viele Bruchzahlen $\frac{p}{q}$, die obige Ungleichung erfüllen. Sobald die Konstante c aber auch nur ein winziges Stückchen größer ist, finden sich für manche irrationale Zahlen $\alpha$ nur noch endlich viele Bruchzahlen. Das Problem ist hierbei der Goldene Schnitt.

Die Lagrange-Zahlen als Maß für Irrationalität

Falls $\alpha$ dem Goldenen Schnitt entspricht, dann ist die obige Gleichung gerade so erfüllt, sie lässt aber kein größeres c zu. Das ist nicht weiter erstaunlich, schließlich lässt sich schon aus ihrer Kettenbruchdarstellung ableiten, dass 𝜙 die irrationalste Zahl von allen ist.

Der Mathematiker Andrey Markov hat sich deshalb Ende des 19. Jahrhunderts angesehen, was passiert, wenn man den Goldenen Schnitt weglässt und sich auf die übrigen irrationalen Werte konzentriert. Lässt sich dann der Nenner durch c weiter vergrößern und die Genauigkeit erhöhen?

Wie sich herausstellt, lautet die Antwort ja. Abgesehen von Zahlen, die mit dem Goldenen Schnitt zusammenhängen, lassen sich für alle übrigen irrationalen Zahlen unendlich viele Bruchzahlen $\frac{p}{q}$ finden, die folgende Ungleichung erfüllen:

Wieder scheitert eine weitere Vergrößerung von c an einer einzelnen irrationalen Zahl, in diesem Fall $\sqrt{2}$. Sie verhindert ein besseres Annäherungsergebnis. Also ging Markov weiter und schloss als Nächstes $\sqrt{2}$ in seiner Analyse aus. Dadurch ließ sich die Ungleichung weiter verbessern zu:

Auch hier kann man wieder eine störende irrationale Zahl ausmachen, sie entfernen und eine neue Ungleichung ableiten. Die sich dabei ergebenden Konstanten c, die im Nenner des rechten Teils der Ungleichung stehen, also $\sqrt{5},2\sqrt{2},\frac{\sqrt{221}}{5},\dots$bilden eine unendlich lange Folge von »Lagrange-Zahlen«, die sich schrittweise immer mehr dem Grenzwert von 3 nähern. Dieses bemerkenswerte Ergebnis bewies Markov im Jahr 1880.

Tatsächlich kann man sich aber auch für jede spezifische irrationale Zahl $\alpha$ ansehen, was die bestmögliche Ungleichung ist – und somit die zugehörige Lagrange-Zahl bestimmen. Diese ist von großer Bedeutung für die Zahlentheorie: Die Lagrange-Zahl gibt an, wie »irrational« eine Zahl ist, also wie gut sie sich durch Bruchzahlen annähern lässt.

Ein seltsames Muster

Mit Markovs Arbeit waren unendlich viele Lagrange-Zahlen zwischen $\sqrt{5}$und 3 bekannt. Diese beziehen sich jedoch nur auf eine ganz bestimmte Klasse von irrationalen Zahlen. Nämlich solchen, die sich durch eine quadratische Gleichung berechnen lassen.

Wie sich herausstellt, gibt es aber auch irrationale Zahlen mit größeren Lagrange-Zahlen als c = 3. Und diese Lagrange-Zahlen sind es, die Forschende bis heute vor Rätsel stellen.

Zu Beginn sind die Lagrange-Zahlen diskret; sie stellen einzelne Werte dar:$\sqrt{5},2\sqrt{2},\frac{\sqrt{221}}{5},\dots$Es gibt zwar unendlich viele Lagrange-Zahlen in dem Bereich, aber sie sind alle durch eine Lücke voneinander getrennt.

Ab der Zahl 3 wird das Lagrange-Spektrum jedoch wesentlich vielfältiger. Die Zahlen bilden ein Fraktal, das aus unendlich vielen kontinuierlichen Abschnitten besteht, getrennt durch Lücken. Man kann sich das wie eine Art Barcode vorstellen, mit teilweise schmalen und etwas dickeren kontinuierlichen Streifen, die aufeinanderfolgen. Das grobe Verhalten der Lagrange-Zahlen ist in diesem Bereich zwar bekannt – doch die Details sind teilweise unklar, zum Beispiel welche Lücken gar keine Lagrange-Zahlen enthalten.

Diese fraktale Struktur setzt sich erstaunlicherweise nicht dauerhaft fort, sondern endet ab einem bestimmten Punkt, der als Freiman-Konstante F bekannt ist:

Gregory Abelevich Freiman bewies 1968, dass jede reelle Zahl, die größer gleich F ist, einer Lagrange-Zahl entspricht. Sie bilden also eine eindeutige Grenze für die Annäherung an eine irrationale Zahl.

All das wirft etliche Fragen für Mathematikerinnen und Mathematiker auf. Warum besteht das Lagrange-Spektrum aus drei völlig unterschiedlichen Abschnitten: einem aus einzelnen Punkten, einem Fraktal und einer kontinuierlichen Linie? Wodurch unterscheiden sich die dazugehörigen irrationalen Zahlen?

Aber auch die Freiman-Konstante F sorgt bei vielen Fachleuten für Stirnrunzeln: Woher kommt dieser Wert, und was macht ihn aus? Denn anders als viele andere mathematische Konstanten wie Pi oder die eulersche Zahl e taucht die Freiman-Konstante bislang in keinem anderen Zusammenhang auf.

Zudem ist unklar, welche irrationale Zahl die zugehörige Lagrange-Zahl F hat. Freiman hat seinen Beweis mithilfe komplizierter zahlentheoretischer Überlegungen abgeleitet – und nicht anhand von konkreten Berechnungen der Lagrange-Zahl von irrationalen Zahlen. Deshalb kennt man zu vielen Lagrange-Zahlen keine expliziten irrationalen Zahlen, die sie realisieren.

All das zeigt, dass wir das wahre Wesen der Zahlen wohl noch lange nicht ergründet haben. Und dabei hat sich diese Kolumne nur einem ganz bestimmten Aspekt der reellen Zahlen gewidmet. Tatsächlich bergen diese aber noch weitaus mehr Mysterien – zum Beispiel wissen wir nicht einmal, wie viele es von ihnen gibt!