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Freistetters Formelwelt: Die wahre Lottoformel

Die Mathematik kann uns auch sagen, wie wahrscheinlich bestimmte Ereignisse sind - etwa beim Lotto. Und trotzdem machen wir manches, gerade weil es unwahrscheinlich ist.
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Als ich noch ein Kind waren, haben meine Eltern im Lotto gewonnen: fünf Richtige mit Zusatzzahl. Das war kein Vermögen, aber es hat für einen Familienurlaub in Spanien gereicht. Ich selbst bin beim Lotto nie über drei Treffer hinausgekommen, habe aber auch nicht sehr oft gespielt. Als ich ausreichend Ahnung von Mathematik hatte, war mir klar, wie klein die Chancen sind, hier den Hauptgewinn zu machen.

Aus 49 Zahlen (in Österreich sind es 45, in der Schweiz 42) müssen 6 ausgewählt werden. Wie viele Möglichkeiten dafür bestehen, sagt uns die Mathematik mit dieser Formel:

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Lottoformel

Der Ausdruck links in der Klammer bezeichnet die so genannten Binomialkoeffizienten. Sie geben an, wie viele Teilmengen mit k Elementen es in einer Menge von n Elementen gibt. Oder beim deutschen Lotto, auf wie viele Arten man 6 Zahlen aus 49 auswählen kann. Berechnet man diese Menge mit der Formel – die für nichtnegative ganze Zahlen gilt, bei denen n größer oder gleich k ist – dann erhält man 13 983 816 Möglichkeiten. In der Realität wird das noch durch Zusatzzahlregeln verkompliziert, aber es ist klar, dass man schon sehr viel Glück haben muss, um genau den einen richtigen Tipp zu finden.

Die spezielle Notation des Binomialkoeffizienten geht auf den österreichischen Mathematiker Andreas von Ettingshausen zurück, der sie 1826 erstmals verwendete. Bekannt waren diese speziellen Zahlen aber schon viel früher. In seinem 1655 erschienenen Buch »Traité du triangle arithmétique« zeigte der französische Wissenschaftler Blaise Pascal das, was heute nach ihm das pascalsche Dreieck genannt wird.

Es ist eine grafische Darstellung der Binomialkoeffezienten, in der Zahlen in Form eines Dreiecks angeordnet sind. Wenn die Spitze und die Ränder des Dreiecks von der Zahl 1 besetzt werden, errechnet sich jeder weitere Eintrag als Summe der zwei jeweils darüber stehenden Einträge. Bezeichnet man die Zeilen im Dreieck mit n und die Spalten mit k, dann kann man aus ihm direkt den jeweiligen Binomialkoeffizent ablesen oder je nach Bedarf auch direkt berechnen.

Aber auch Pascal hat diese Zahlen nicht erfunden, sondern nur vorhandenes Wissen zusammengetragen und veröffentlicht. Das Dreieck der Binomialkoeffizenten findet man schon beim chinesischen Mathematiker Yang Hui in einem Buch aus dem 13. Jahrhundert. Und schon im 10. Jahrhundert haben persische Mathematiker – vor allem Omar Chayyam – das pascalsche Dreieck dargestellt und verwendet, um Regeln wie den binomischen Lehrsatz zu erläutern. Zur gleichen Zeit wurde es auch in Indien verwendet und vermutlich waren die Zahlen schon viel länger bekannt.

Die Menschen hatten also wahrlich genug Zeit, um festzustellen, dass Glücksspiel nie ein sicherer Weg ist, um schnell an viel Geld zu kommen. Trotzdem spielen allein in Deutschland mehr als sieben Millionen Menschen regelmäßig Lotto (oder Toto); mehr als 21 Millionen versuchen immerhin gelegentlich ihr Glück, wie eine Umfrage aus dem Jahr 2018 zeigt.

Manchmal macht es eben einfach Spaß, sich am fast Unmöglichen zu versuchen, auch wenn die Mathematik uns nahelegt, dass wir es eigentlich gar nicht zu versuchen brauchen. Denn natürlich ist das Glücksspiel vor allem immer ein Geschäft für die jeweiligen Betreiber und nie für die Teilnehmer.

Wer trotz Mathematik weiterhin sein Glück auf die Probe stellen will, sollte sich aber voll und ganz dem Zufall anvertrauen. Scheinbar »populäre« Kombinationen zu tippen oder die Zahlen anhang von Geburtstagen oder ähnlichem auszuwählen, führt nur dazu, dass man sich einen etwaigen Gewinn mit vielen anderen Leuten teilen muss, die die gleiche Strategie verfolgt haben. Die besten Chancen beim Lotto hat man, wenn man die sechs Zahlen per Zufallsgenerator auswählt.

47/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 47/2018

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