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Freistetters Formelwelt: Die Wurstkatastrophe der Mathematik

Wer ihr entgehen will, muss in mehrdimensionale Räume flüchten. Oder? Das ist noch nicht ganz klar, solange die Wurstvermutung unbewiesen bleibt.
Weißwürste

Wenn in der Mathematik von »Würsten« gesprochen wird, redet man im Allgemeinen nicht von Nahrungsmitteln, sondern beschäftigt sich mit der Theorie endlicher Kugelpackungen. Es geht dabei um die Frage, wie man eine endliche Anzahl gleich großer Kugeln möglichst platzsparend verpacken kann. Das Problem lässt sich leicht veranschaulichen. Dazu kann man sich etwa ein paar Tennisbälle vorstellen: Wie muss man diese anordnen, damit das Volumen der Hülle, in die sie verpackt werden, möglichst gering wird?

Echte Tennisbälle werden normalerweise hintereinander in einer Reihe positioniert und in röhrenförmigen Dosen verpackt. Diese Anordnung ist eine Annäherung an das, was in der Mathematik als »Wurstpackung« bezeichnet wird. Sie erhält man, wenn die Mittelpunkte aller Kugeln auf einer geraden Linie liegen. Die minimale Hülle um sie herum ähnelt dann einer Wurst, weswegen der ungarische Mathematiker László Fejes Tóth dafür den entsprechenden Ausdruck geprägt hat. Von Tóth stammt auch die »Wurstvermutung«:

Wurstvermutung
Wurstvermutung

Diese Formel beschreibt Bälle (B) nicht nur in drei, sondern auch in mehr Dimensionen (d). Das Konzept bleibt dabei gleich: Eine d-dimensionale Kugel ist die Menge aller Punkte in einem d-dimensionalen Raum, die den gleichen Abstand von einem Mittelpunkt haben. Tóths Vermutung beschäftigt sich nun mit dem Volumen Vd der Packung und besagt, dass in Räumen mit mehr als vier Dimensionen die Wurstpackung immer die beste ist, gleich wie viele Kugeln man betrachtet.

In drei Dimensionen ist das nicht so. Hier wissen wir, dass für drei und vier Kugeln die Wurstpackung tatsächlich optimal ist. Auch für mehr Kugeln sollte das so sein, doch das ist noch nicht einwandfrei bewiesen. Bei 56 Kugeln dagegen ist eine Cluster-Packung definitiv besser, also eine Anordnung, bei der die Kugeln nicht in einer Linie und auch nicht alle in einer Ebene liegen (wie diese Packung im Detail aussieht, ist allerdings unbekannt). Die Überlegenheit der Cluster-Packung konnte für andere einzelne Werte der Kugelanzahl ebenso bewiesen werden, aber eine allgemeine Regel kennt man nicht.

Auf jeden Fall kann man in drei Dimensionen ein seltsames Verhalten erkennen. Die Packungsform ändert sich schlagartig von der relativ geordneten Wurstpackung zur ungeordneten Clusterpackung, ohne dass man bis jetzt weiß, warum das so ist. In vierdimensionalen Räumen tritt der Wechsel von der Wurst zum Cluster spätestens bei 375 370 Kugeln ein. Dieses unerwartete und unverstandene Verhalten wird als »Wurstkatastrophe« bezeichnet.

Sollte Tóth mit seiner 1975 aufgestellten Vermutung Recht haben, dann wäre bewiesen, dass diese Katastrophe in Räumen mit mehr als vier Dimensionen nicht auftreten kann, da dort die Wurstpackung immer optimal ist. Ulrich Betke und Martin Henk konnten 1998 immerhin beweisen, dass die Wurstvermutung für alle Dimensionen größer als 41 korrekt ist. In einem 42-dimensionalen Raum ist man also auf jeden Fall sicher vor der Wurstkatastrophe.

Neben Wurst- und Clusterpackungen haben die Mathematiker übrigens eine weitere gastronomische Metapher auf Lager: Ordnet man die Kugeln so an, dass ihre Mittelpunkte nicht auf einer geraden Linie, sondern – vergleichbar mit Pralinen in einer Schachtel – alle in einer Ebene liegen, dann spricht man von einer »Pizzapackung«. Mit der Wurst kann die Pizza allerdings nicht mithalten: Zumindest in allen Dimensionen kleiner als 11 ist die optimale Packung immer eine Wurst oder ein Cluster, aber niemals eine Pizza.

44/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 44/2018

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