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Freistetters Formelwelt: Ein Umweg für Geometrie-Dummies

Mathematik geht heute auch ohne Kompetenzen in räumlichem Vorstellungsvermögen - René Descartes und dem kartesischen Koordinatensystem sei Dank!
Geometrische Figuren

Die Geometrie steht am Anfang der Mathematik. Schon vor Jahrtausenden haben sich Ägypter, Mesopotamier und andere frühe Kulturen mit den Eigenschaften geometrischer Figuren beschäftigt und die Grundlagen für die moderne Mathematik gelegt. Mir dagegen ist die Beschäftigung mit der Geometrie immer ein wenig schwergefallen. Dank René Descartes muss ich mich damit aber auch nicht mehr beschäftigen.

Der französische Universalgelehrte hat die Mathematik im 17. Jahrhundert revolutioniert. Er schuf eine Verbindung zwischen Geometrie und Algebra, also der Disziplin, die man landläufig als das »Rechnen mit Unbekannten« kennt. Betrachten wir diese Formel:

Ceci n'est pas un cercle …?

Sie zeigt uns ein klassisches geometrisches Objekt in etwas ungewöhnlicher Form: einen Kreis. Aus geometrischer Sicht besteht ein Kreis aus der Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Punkt (dem Mittelpunkt des Kreises) einen fixen Abstand (den Radius) haben. René Descartes eröffnete den Mathematikern im 17. Jahrhundert aber einen neuen Weg, um geometrische Objekte (und noch viel mehr) zu betrachten. Er entwickelte das, was heute jedes Kind in der Schule lernt und nach ihm das »kartesische Koordinatensystem« genannt wurde. Es handelt sich um ein Koordinatensystem mit zwei oder mehr jeweils im rechten Winkel zueinander ausgerichteten Achse. Typischerweise werden die ersten beiden Achsen als x-Achse und y-Achse (oder Abszisse und Ordinate) bezeichnet.

Im kartesischen Koordinatenraum können nun ganz einfach Punkte, Funktionen oder geometrische Objekte beschrieben werden. Nimmt man die oben angeführte Formel und markiert alle Punkte mit den Koordinaten (x,y), die die Gleichung erfüllen, dann erhält man einen Kreis mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt genau am Schnittpunkt zwischen x- und y-Achse liegt.

Was für den Kreis funktioniert, klappt auch für andere und komplexere geometrische Objekte. René Descartes schuf mit seinem Koordinatensystem ein Werkzeug, das geometrische Formen in algebraische Gleichungen übersetzt. Diese »analytische Geometrie« eröffnete der Mathematik einen völlig neuen Blick auf die Welt. Und Menschen wie mir einen neuen Weg, um über die Welt nachzudenken. Mir ist es immer schon viel leichter gefallen, mich mit Zahlen, Variablen und Gleichungen zu beschäftigen als mit Formen und Figuren. Wenn ich bei meiner Arbeit als Astronom zum Beispiel die Stabilität des Sonnensystems untersucht und Veränderungen der Planetenbahnen analysiert habe, dann habe ich dabei vor meinem geistigen Auge keine sich verformenden Ellipsen gesehen, sondern sich verändernde mathematische Gleichungen.

Und wenn es darum ging, sich einen Überblick über die zwischen Himmelskörpern wirkenden Kräfte und die daraus resultierende Bewegungen zu verschaffen, dann ist mir der algebraische Ansatz ebenfalls immer viel leichter gefallen als der Versuch, mir die Situation räumlich und figürlich vorzustellen. Dank der auf den kartesischen Koordinaten basierenden und später entwickelten Vektorrechnung ist die algebraische Darstellung von zwischen Planeten wirkenden Kräften kein Problem mehr.

Der deutsche Mathematiker David Hilbert konnte zu Beginn des 20. Jahrhunderts zeigen, dass die dreidimensionale analytische Geometrie zur klassischen euklidischen Geometrie vollständig äquivalent ist. Man muss vielleicht nicht gleich so weit gehen wie später Nicolas Bourbaki in Frankreich und in der Mathematik vollständig auf die Geometrie verzichten. Sie ist – gerade wenn man etwas allgemeinverständlich darstellen will – immer noch ein sehr wichtiges Instrument. Aber ich persönlich bin sehr froh darüber, dass ich dank René Descartes auch ohne ein ausgeprägtes räumlich-geometrisches Vorstellungsvermögen Mathematik betreiben kann!

41/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 41/2018

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